如何用多種數學思想方法巧解一道大學聯考題

文章摘要：數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，本文選取一個小小的選擇題，竟涵蓋着多種種數學思想！…

數學才子參加了高三班的元旦晚會，在熱烈的掌聲中才子登台唱歌，歌詞是：

函數方程不可分數形結合好傳神等價轉換繁歸簡分類討論整化零……

有人説：數學思想只供唱，數學題目是硬仗!

才子聽見了，接着唱他的：

硬仗何必枉費力，問題深處藏玄機，思想方法運用好，一指點破無難題。

又有人説：有的題目很簡單，搬動思想太麻煩!你看，數學園地上的這道小考題，有什麼數學思想值得説的呢?

才子抬頭一看，原來是2007年全國卷數學甲卷的第6題：

不等式的解集是

A.(-2，1) B.(2，∞)

C.(-2，1)∪(2，∞) D.(-∞，1)∪(2，∞)

才子唱道：

此題説小也不小，思想劃線分拙巧，拙解需要三分鐘，巧解只需二十秒!

滿場活躍，才子問，你們要我用哪種思想解題?

比如“等價轉換思想”!

才子手一揮!那好辦，原不等式等價於不等式(x-1)(x2-4)>0.

大家一驚：這個整式不等式能與分式不等式等價嗎?再一看，的確是的精彩!

有人接着問：函數方程思想呢?

才子答：就在這裏，令f(x)=(x-1)(x2-4)

解不等式(x-1)(x2-4)>0實為求函數f(x)的正值區間。

而解這個不等式，操作上是先解方程(x-1)(x2-4)=0

至此，問者連連點頭：不錯，不錯，函數，方程，還有不等式，三位一體。

有人追問，數形結合思想，在這裏如何體現?

才子答，讓我順手牽來!畫出如下的數軸根序圖：

這就是本題的數形結合!

有人再追問：分類討論思想呢?

才子點頭：分類討論是解分式不等式的基本思想。

原不等式化歸如下兩不等式組來解：

這就是分類討論思想的操作!

至此，大家很滿意，一個小小的選擇題，竟涵蓋着這麼豐富的數學思想。有思想和無思想的人，對本題的理解程度和操作藝術，自然不在同一個層上。然而，才子的`“思想”還沒有完：你們看如下的解法，屬哪個數學思想的範疇?

令x=0，它是原不等式的解，由此淘汰B和D.

令x=3，它也是原不等式的解，由此淘汰A.

因此，本題的答案是C.

有人搶答，這是“一般特殊思想”的體現，特值法解選擇題就是這種思想的運用。

這時，場上更活躍，並出現了爭論，對第6種數學思想-有限無限思想，在本題中，有體現嗎?

有的説有，有的説沒有，要求才子作裁判。

才子笑着説：一種數學思想，如果沒有普遍性，他還稱得上“思想”嗎?