關於數學牛吃草問題解題技巧

　　一、牛吃草問題

牛吃草問題是一個很有趣的問題，關鍵在於牧場每天都長新草，通過兩組條件的比較，先求出每天（周）長牧草的新草量，然後把牛分成兩部分，一部分吃新草，一部分吃舊草，從而求出吃草的天數。顯然牛實際上是不能這樣分成兩部分去吃草的，但在解數學問題中，這種分成幾部分去解決問題的方法，可以使複雜的問題變成簡單的問題，化繁為簡是常常應用的技巧之一。

例1 牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。如果27頭牛6周吃完，23頭牛9周吃完，那麼21頭牛幾周吃完？

解：設1頭牛1周吃的草為1份，27頭牛6周吃27×6=162（份），23頭牛9周吃23×9=207（份），這説明牧場每週長新草（207－162）÷（9－6）=15（份）。原來（牛吃前）牧場有草 162－15×6=72（份）

吃新草的牛需要 15÷1=15（頭）吃舊草的牛有 21－15=6（頭）

吃完草的時間 72÷6=12（周）

例2 由於天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天，那麼可供多少頭牛吃10天？

解：20頭牛5天吃草20×5=100（份）15頭牛6天吃草15×6=90（份）

青草每天減少（100－90）÷（6－5）=10（份）牛吃草前牧場有草100＋10×5=150（份）150份草吃10天本可供150÷10=15（頭）因每天減少10份草，相當於10頭牛吃掉，所以只能供牛15－10=5（頭）

　　二、牛吃草問題概念及公式

牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場 牛吃草問題的·歷史起源：英國數學家牛頓(1642—1727)説過：“在學習科學的時候，題目比規則還有用些”因此在他的著作中，每當闡述理論時，總是把許多實例放在一起。在牛頓的《普遍的算術》一書中，有一個關於求牛和頭數的題目，人們稱之為牛頓的牛吃草問題。，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由於吃的`天數不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰

假設定一頭牛一天吃草量為“1”

1）草的生長速度＝（對應的牛頭數×吃的較多天數－相應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數－吃的較少天數）；

2）原有草量＝牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；`

3）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

4）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。

這四個公式是解決消長問題的基礎。

由於牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由於是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的。正是由於這個不變量，才能夠導出上面的四個基本公式。

牛吃草問題經常給出不同頭數的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由於吃草的牛頭數不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地裏原有草的數量，進而解答題總所求的問題。

這類問題的基本數量關係是：

1.(牛的頭數×吃草較多的天數-牛頭數×吃草較少的天數)÷（吃的較多的天數-吃的較少的天數)=草地每天新長草的量。

2.牛的頭數×吃草天數-每天新長量×吃草天數=草地原有的草量。