橢圓的性質教學設計

　　橢圓的性質教學設計【1】

（一） 指導思想與理論依據

1、本節課的設計力圖體現“教師為主導,學生為主體”的教學思想。 在教學的過程中始終本着“教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者”的原則，讓學生通過實驗、觀察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等過程建構新知識，並初步學會從數學的角度去觀察事物和思考問題，產生學習數學的濃厚興趣。

2、在“橢圓的標準方程”的引入與推導中，遵循學生的認識規律，運用“實驗——猜想——推導——應用”的思想方法，逐步由感性到理性地認識定理，揭示知識的發生、發展過程；遵循現代教育理論中的“要把學生學習知識當作認識事物的過程來進行教學”的觀點。

3、數學學習的核心是思考，離開思考就沒有真正的數學。針對這節課的內容：教師提問；學生操作、觀察、思考、討論；教師再演示、點評，最大限度地調動學生積極參與教學活動。在教學重難點處適當放慢節奏，給學生充分的時間與空間進行思考與討論，教師適時給予適當的思維點撥，必要的可進行大面積提問，讓學生做課堂的主人，充分發表自己的觀點，交流、彙集思想。這樣既有利於化解難點、突出重點，也有利於充分發揮學生的主體作用，使課堂氣氛更加活躍，讓學生在生生互動、師生互動中掌握知識，提高解決問題的能力。另外通過學法指導，引導學生思維向更深更廣發展，以培養學生良好的思維品質，併為以後進一步學習橢圓的幾何性質及雙曲線和拋物線作好輔墊。

（二） 教學背景分析

A、學情分析 1、能力分析

①學生已初步掌握用座標法研究直線和圓的方程; ②對含有兩個根式方程的化簡能力薄弱。

2、認知分析

①學生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟;

②學生已經掌握直線和圓的方程及圓錐曲線的概念，對曲線的方程的概念有一定的瞭解;

③學生已經初步掌握研究直線和圓的基本方法。

3、情感分析

學生具有積極的學習態度，強烈的探究慾望，能主動參與研究。

B、教材分析

在教材處理上，根據橢圓定義的特點，結合學生的認識能力和思維習慣在概念的理解上，先突出“和”，在此基礎上再完善“常數”取值範圍.在標準方程的推導上，並不是直接給出教材中的“建系”方式，而是讓學生自主地“建系”，通過所得方程的比較，得到標準方程，從中去體會探索的樂趣和數學中的對稱美和簡潔美.基於以上分析，我將本課的教學重點、

難點確定為：①重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標準方程及其推導方法；②難點：橢圓的標準方程的推導，辨析橢圓標準方程。

C、教學分析

教學方法：主要採用探究性教學法和啟發式教學法。以啟發、引導為主，採用設疑的形式，即教師通過問題誘導→啟發討論→探索結果，引導學生直觀觀察→歸納抽象→總結規律，使學生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力。

逐步讓學生進行探究性的學習。探究性學習充分利用了青少年學生富有創造性和好奇心，敢想敢為，對新事物具有濃厚的興趣的特點。讓學生根據教學目標的要求和題目中的已知條件，自覺主動地創造性地去分析問題、討論問題、解決問題。

教具準備：多媒體課件、繪圖板、細繩。

（三） 本節課教學目標設計

A、知識與技能目標

1、建立直角座標系，根據橢圓的定義建立橢圓的標準方程；

2、能根據已知條件求橢圓的標準方程；

3、進一步感受曲線方程的概念，瞭解建立曲線方程的基本方法，體會數形結合的數學思想。

B、過程與方法目標

1、讓學生感知數學知識與實際生活的密切聯繫，培養解決實際問題的能力，

2、培養學生的觀察能力、歸納能力、探索發現能力，

3、提高運用座標法解決幾何問題的能力及運算能力。

C、情感態度與價值觀目標

1、親身經歷橢圓標準方程的獲得過程，感受數學美的薰陶，

2、通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數學的理性和嚴謹，

3、通過經歷橢圓方程的化簡,增強學生戰勝困難的意志品質和契而不捨的鑽研精神，養成學生紮實嚴謹的科學態度，形成學習數學知識的積極態度。

　　橢圓的性質教學設計【2】

教學理念： 數學教學是思維過程的教學，如何引導學生參與到教學過程中來，尤其是在思維上深

層次的參與，是促進學生良好的認知結構，培養能力，全面提高素質的關鍵。數學教學中的探究式對培養和提高學生的自主性、能動性和創造性有着非常重要的意義。

設計思想： 本節藉助多媒體輔助手段，創設問題的情境，讓探究式教學走進課堂，保障學生的主體地位，喚醒學生的主體意識，發展學生的主體能力，塑造學生的主體人格，讓學生在參與中學會學習、學會合作、學會創新。

一、教材分析：

1、教學內容：高中教材第二冊上第八章第一節，橢圓及其標準方程，本節研究橢圓的定義、圖形及標準方程的推導，藉助生活中豐富的典型實例，讓學生通過分析、推理、歸納等活動過程，從中瞭解和體驗橢圓的定義和標準方程。

2、教學地位：本節是第八章的基礎，為以後學習雙曲線、拋物線奠定基礎，是本章的重點內容。

在大學聯考中也是重點考察內容之一。

3、教學重點：①重點：橢圓定義、標準方程

②解決策略：用模型演示橢圓，在給出橢圓定義最後加以強調，對橢圓的方程單獨列出加以比較。

4、教學難點：①難點：橢圓標準方程的推導

②解決策略：推導分4步，每步重點講解，關鍵步加以補充説明。

5、教學疑點 ①疑點：橢圓定義中常數加以限制的原因。 ②解決策略：分情況説明動點的軌跡。

二、學習者分析：

1、年齡、認知特特點：

高二年級的學生，已具備了對幾何圖形的一定水平層次的想象能力，已具備一定的邏輯推理能力和分析問題的能力。這個階段的學生還以抽象邏輯思維為主要發展趨勢，他們的思維正從屬於經驗性的邏輯思維向抽象思維發展，仍需要依賴一定的具體形象的經驗材料來理解抽象的邏輯關係。

2、應具備的知識和技能：

應熟練掌握曲線和方程的關係，求曲線方程的方法和步驟，具備一定的觀察能力和分析能力。

3、本課應獲得能力訓練：

通過本節的學習強化探索能力、幾何圖形構造能力的訓練，瞭解數形結合思想。

三、教學目標：

1、知識目標：①掌握橢圓定義。

②掌握橢圓標準方程的推導及標準方程。

2、能力目標：通過橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用座標法解決幾何問題的能力。

3、情感目標：①通過學生個性化的學習增強學生的自信心和意志力。

②通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識。

③通過神州五號的引入對學生進行愛國主義教育，增強民族自豪感。

4、學科滲透：通過對橢圓的圖形認識、定義的引入、標準方程的推導提高對各科知識的綜合運用能力體現了數學是基礎學科，是工具學科。在各個領域內有廣泛的應用。

四、教法和學法的分析：

1、通過探究式教學方法充分利用現實情景，儘可能的增加教學過程的趣味性、實踐性。利用多媒體課件和實物模型等豐富學生的學習資源，生動活潑的展示圖形，強調學生動手操作試驗和主動參與。

2、教師是學生的學習的組織者、促進着、合作者，在本節課的備課和教學過程中，為學生的動手實踐，自主探索與合作交流的機會搭建平台，鼓勵學生提出自己的見解，學會提出問題解決問題，通過恰當的教學方式已到學生學會自我調適，自我選擇。

五、教學媒體和教學技術的選用

本次教學需要教具和多媒體課件的輔助，教具包括:直尺、細繩、釘子等幾何畫板製作的課件。

它們的使用可以更好的幫助學生認識圖形，豐富直觀，使學生的學習資源更為豐富。 六、板書設計:

橢圓的定義及標準方程

1、 橢圓的圖形3、例1 解題過程 2、 標準方程的推導 4、例2解題過程 ① 焦點在x軸上的橢圓方程。 ② 焦點在y軸上的橢圓方程

七、教學過程説明：

學生雖然對橢圓圖形有所瞭解，但只限於感性認識，缺少理性的思考、探索和創新，這與缺乏必要的數學思想和方法密切相關。而這一點，恰恰是現代社會對人的基本要求，也是目前以德育為核心，以培養創新精神和實踐能力為重點的素質教育所提倡的。所以，本節課力圖從圓的定義和圓的方程的聯繫出發，藉助類比的思想對動點有規律的運動作一些理性的探索和研究。同時，在學習運用過程中，對數形結合思想、分類討論思想和化歸思想加深認識。

八、教學過程：

九、教後反思

1將教學科研融入教學中，改變學生的學習方式

探究體驗式創新教學方法是我們一中所研究的課題的一個子課題，本節就是以這一理論為指導， 讓探究式教學走進課堂為學生的學習提供了多樣化的活動方式，激發學生的興趣，讓學生積極

參與。學生通過觀察、猜想、推理等豐富多彩的活動達到了知識的主動構建與理解。

2、 滲透數學思想方法中在平時

學了這些年數學我們給孩子們留下了什麼？我想應該是學生遇到具體問題時那種思考問題的方式，和解決問題的方法。本節課在探究解決問題的途徑，引導學生觀察圖形後研究方程，即數形結合思想。華羅庚先生曾説：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”因此在平時教學時，要注意滲透數學思想方法的教學。

3、 信息技術走進課堂

充分利用多媒體手段，以輕鬆愉快的動畫演示，化抽象為形象，創設了直觀的課堂教學效果，化解了知識的難點。

4、 課堂上教師怎樣引導學生是值得我們深思的一個問題，在完成知識拓展時，課堂上開始還不能

很好的完成題目的變化，經教師的指導，學生逐漸地掌握了方法。

5、 作業的可選擇性使學生能根據自己的能力選擇完成。

十、教學感悟

輕鬆愉快的課堂是學生思維發展的天地，討論、合作交流的主陣地，思想品德教育的好場所，因此新教育理念、新課改下的新課堂需要教師和學生一起來培育，一起來創造，一起來開拓。

　　橢圓的性質教學設計【3】

教學過程

一、創設情境引導目標與內容

教師： 2003 年 10 月 15 日是每一箇中國人為之驕傲的日子（課件展示飛船繞地球運行模擬圖），大家還記得這一天嗎？

學生：神州五號飛船發射成功。

教師：對，神州五號載人飛船順利發射升空，實現了幾代中國人遨遊太空的夢想。你知道照片上這個人嗎？（屏幕打出楊利偉照片）

學生：楊利偉

教師：他是我們民族的英雄，我們應向他學習。通過前面的學習我們知道，飛船在變軌前是沿着地球中心為一個焦點的橢圓軌道運行的，如果告訴你飛船的軌道方程，你怎樣作出飛船的軌跡呢？這個問題的實質是什麼？

學生：已知一個橢圓的方程，畫出這個橢圓。

教師：讓學生拿出預習中用描點法畫出所示的圖形，同時計算機給出作圖過程，糾正學生作圖中存在的問題後給出：這種作圖方法雖然比較準確，同學們通過作圖體會到了什麼？

學生：麻煩。

教師：有簡單的方法嗎？如果有，需要知道什麼呢？

學生：研究曲線的特點。

教師：對，如果我們能根據橢圓的方程，探討出它的幾何特徵，那麼作圖就很方便了。這節課我們就一起來學習橢圓的簡單幾何性質（引出課題）

教師：前面我們學習了橢圓的哪些知識？

學生：學習了定義和標準方程。

教師：你還記得標準方程嗎？ 這節課就以 （ a ＞ b ＞ 0 ）為例來研究。

二 數學建構

（ 1 ）對稱性

教師：（大屏幕展示所示的圖形）請同學們觀察這個圖形在 x 軸的上方、下方， y 軸的左側、右側有怎樣的關係呢？（此處是空白點，激發學生思考）

學生：有對稱性，關於 x 軸、 y 軸、原點都對稱。

教師：正確。那麼一般的橢圓 是否也具有這種對稱性，你能根據方程得到結論嗎？

學生： A ：（充分討論後）也有同樣的對稱性。在上任取一點 P （ x,y ）則 P 點關於 x 軸、 y 軸和座標原點的對稱點分別是（ x,-y ）（ -x ， y ）、（ -x ， -y ），而代入方程知這三個對稱點都適合方程，即點 P 關於 x 軸、 y 軸和座標原點的對稱點仍然在橢圓上，可得結論。

教師：回答得非常正確。 課件展示對稱過程後總結：所表示的橢圓，座標軸是其對稱軸，座標原點是其對稱中心，對稱中心也叫橢圓的中心，橢圓是有心曲線。做人應向橢圓學習，做一個有心之人。

（ 2 ）頂點

教師：（大屏幕展示 所表示的圖形）請同學們繼續觀察這個橢圓與座標軸有幾個交點呢？

學生 B ：與座標軸有四個交點。

教師：對，一般的橢圓 與座標軸有幾個交點呢？

學生 B ：同樣是四個。

教師：你能根據方程求得四個交點的座標嗎？（計算機給出圖形，橢圓與 x 抽的交點分別是（-a,0） 、 （ a,0 ） ，與 y 軸的交點分別是 （ 0,-b ） （ 0,b ）

學生 B ：分別令 x=0,y=0 ，得 （-a,0） 、 （ a,0 ）、 （ 0,-b ） （ 0,b ） .

教師：回答得很好。這四個點是橢圓與座標軸的交點，也是橢圓與其對稱點的交點。及時總結並給出頂點的定義（強調是與對稱軸的交點）。結合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長半軸長、短半軸長，點明方程中 a 、 b 的幾何意義。

教師：（根據課件中的圖）如果過（-a,0） 、（ a,0 ） 分別作 y 軸的平行線，過（ 0,-b ） 、（ 0,b ） .分別做 x 軸的平行線，則這四條直線將構成 ---- （欲言又止）

學生：一個矩形。

教師：橢圓在矩形 ---- （欲言又止）

學生：內部

教師：正確，這説明了什麼？

學生：有的説有界，有的説有範圍。

教師：指出橢圓是有範圍的，根據前面求得的點A1 、點A2 、點B1 、點B2 的座標，你能説出 x 、 y 的範圍嗎？

學生 C ： -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ b.

教師：完全正確。那麼你根據方程 研究 x 、 y 的取值範圍嗎？請同學們想一想，並互相討論討論。（此處既是空白點、又是創新點，學生能夠動腦思考，動手實踐，親身體驗，積極地投入到“創新性研究”中，把數學的重點放在了學生的學習過程，而不是獲得一個簡單的結果）

（ 3 ）範圍 引導學生用多種方法探究，彙報研究成果並用實物投影展示或到黑板板書。 學生 D ：由 利用兩個實數的平方和為 1 ，結合不等式知識得 ≤ 且 ≤ ，則有 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ b. 教師：很好，誰還有不同意見？ 學生 E ：利用三角換元，令 θ， θ，θ∈ R 。由弦函數有界可得範圍。

教師：這個想法也不錯，誰還有不同見解？

學生 F ：從 中解出，利用 ≥ 0 可得 y 的'取值範圍，同樣可得 x 的取值範圍。

教師：這種想法也不錯，誰還有不同見解？此時學生陷入深思中，教師及時點撥，前面我們學習過函數的定義域、植域，這對你研究橢圓的範圍有何啟示呢？學生議論紛紛，有的開始動筆推導，有的幾個人一起在商量。 教師：誰研究出來了，或哪個小組研究出來了？請到前面給大家講一講。

學生 G ：（實物展台展示）由 則 y= ± ，可通過求這個函數的定義域、值域得範圍。

教師： y= ± 是函數嗎？

學生 G ：（思考後）説不是。

教師：怎麼處理呢？

學生 G ：把 y= 和 y=- 分別看作是一個函數。

教師：正確。往下怎麼研究呢？

學生 G ：先求函數 y= 的定義域、值域。利用前面學習過的代數函數求定義域、值域的方法，可得 -a ≤ x ≤ a ， 0 ≤ y ≤ b ，同樣得 y= 中 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ 0 ，於是得到範圍。（課堂響起一片掌聲，表示對這位同學的支持、肯定與鼓勵

教師：前面我們研究了橢圓的對稱性，誰能簡化學生 G 的推導過程呢

學生 H ：老師，我想只需求 y= （0 ≤ x ≤ a） 的定義域、值域即可，然後利用對稱性可得範圍。

教師：很好。

教師：通過前面的探討，我們知道橢圓是有範圍的，即它圍在一個矩形框內。有了前面這幾個性質，我們就可以很快地作出焦點在 x 軸上的橢圓的草圖了教師在黑板上示範作圖（先找到標準方程所表示的橢圓與座標軸的四個交點，畫出矩形框，光滑曲線連接，並注意對稱性）

教師：請同學們根據這種作圖方法，在同一座標系下畫出方程 和 所示的橢圓，並思考這兩個橢圓的形狀有何不同？

學生 M ：實物展台展示畫圖，指出一個扁一些，一個圓一些。

教師：（追問）圓扁與什麼有關係？（提示學生注意兩個方程）

學生 M ：與 b 有關係。

教師：是這樣嗎？

學生 N ：在 a 不變的情況下與 b 有關係， b 大則圓， b 小則扁，因此與 a 、 b 有關係。

教師課件動畫展示（ a 不變，隨 b 變化，橢圓形狀的變化）印證學生的猜測是正確的，同時提出問題：在推導方程中曾令 ，這又意味着形狀還與什麼有關係呢？

學生有的説與 b 、 c 有關，有的説與 a 、 b 、 c 有關。（鼓勵學生大膽猜測）

教師：在給出橢圓的定義中，大家還記得嗎？影響橢圓形狀的最關鍵的要素是什麼？

學生：是 a 和 c

教師：下面我們就一起看一下在 a 不變的情況下，隨 b 的變化 c 是如何變化的（動畫演示）。從而引出離心率。

（ 4 ）離心率

教師在動畫演示過程中，引導學生髮現 a 不變， b 大則 c 小，橢圓較圓， b 小則 c 大，橢圓較扁，特別當 a=b 時， c=0 橢圓為圓。教師指出：當 a 不變， b 大則 c 小，此時 也變小，學生通過觀察指出此時橢圓較圓，反之較扁， c=0 時變成了圓。及時總結並給出離心率的定義、符號和範圍及特例。（強調離心率是焦距與長軸長之比，與座標系選取無關，並引導學生分析出：固定 a 、 b 、 c 中任何一個量，改變另外兩個量可得到同樣的結論，即 e 大則扁， e 小則圓，特別 e=0 時為圓）

因此離心率是一個刻畫橢圓圓扁程度的量。（此處是難點，教學中藉助動畫演示，結合教師啟發引導，幫助學生理解離心率的定義及離心率對橢圓形狀的影響）

三、鞏固與創新應用

請你自己設計一個焦點在 x 軸上的橢圓的標準方程，並指出它的幾何性質。（此題把主要權交給學生，提高學生的參與意識）

利用本節所學的知識，説出橢圓的簡單幾何性質。（此處也是一個創新點，培養學生運用類比化歸的思想解決實際問題的能力，也通過本題使學生體驗這節課所學的性質是橢圓自身固有的性質與座標系的選取無關）

橢圓 （k ＞ 0） 的長軸是短軸的 2 倍，則 k=

如果一個橢圓短軸上的一個頂點與兩個焦點構成一個三角形，求橢圓的離心率，（通過第（ 3 ）（ 4 ）兩題鞏固本節所學知識）

四 、反思與小結

教師引導學生從知識、思想方法和研究問題的方法三個方面進行總結。

教師：通過這節課的學習，你學到了什麼？體驗到了什麼？掌握了什麼？

學生討論、反思。

師生合作：

（ 1 ）知識總結：教師設計關於性質的表格，學生填表，並總結：記住這些性質的關鍵是抓住兩條線（對稱軸），一個框（範圍），七個點（一箇中心、兩個焦點、四個頂點）和用 e 刻畫圓扁。思想方法總結：本節課主要利用了數形結合的思想和類比化歸的思想研究性質的，平時學習中要注意數學思想方法的運用。

（ 2 ）掌握利用曲線方程研究曲線性質的基本方法，即通過研究曲線的對稱性、頂點、範圍、離心率等，這樣就可以從整體上把握曲線了。