關於小升中數論之帶餘除法的數學試卷
一、求被除數類
1. 同餘加餘,同差減差
例1.某數被7除餘6,被5除餘3,被3除餘3,求此數最小是多少?
解:因為“被5除餘3,被3除餘3”中餘數相同,即都是3(同餘),所以要先求滿足5和3的最小數,[5、3]=15,
15+3=18,
18÷7=2……4不餘6,(不對)
15×2=30
(30+3)÷7=4……5不餘6(不對)
(15×3+3)÷7=6……6(對)
所以滿足條件的最小數是48。
例2.某數被3除餘2,被5除餘4,被7除餘5,這個數最小是多少?
解:因為“被3除餘2,被5除餘4”中都差1就可整除,即同差,所以要先滿足5和3的最小數,[5、3]=15,
15-1=14,
14÷7=2……0不餘5(不對)
(15×6-1)÷7=12……5
所以滿足條件的最小數是89。
例3.一個四位數,它被131除餘112,被132除餘98,求這個四位數?
解:除數相差132-131=1,餘數相差112-98=14,説明這個四位數中有14個131還餘112。所以131×14+112=1946。
二、求除數類
1.若a÷c=……r;b÷c=……r.則cㄏ(a-b)。
例1.一個數去除551,745,1133這3個數,餘數都相同。問這個數最大可能是幾?
解:745-551=194,1133-745=388。(194,388)=194,所以這個數最大是194。
2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2, r1+ r2=d.則cㄏ(a+b-d)。
例2.有一個整數,用它分別去除157,234和324,得到的三個餘數之和是100。求這個整數?
解:157+324+234-100=615,615=3×5×41。100÷3=33……1,即最小的除數應大於34,小於157。所以滿足條件的有41、123兩個,經過驗算可知正確答案為41。
三、求餘數類
例1.已知整數n除以42餘12,求n除餘21的餘數?
解:由已知條件可知,n=42的倍數+12=21的2倍的倍數+12。所以,n除以21的餘數為12。
例2.有一個整數,除1200,1314,1048所得的餘數都相同且大於5。問:這個相同的餘數是多少?
解:因為
1314-1200=114=3×38,
1200-1048=152=4×38。
某自然數應當是這兩個差的公約數,即38。又因為
1200÷38=31(餘22)
1314÷38=34(餘22)。
所以,這個相同的餘數是22。
例3.求19901990除以3所得的餘數?
解:由同餘的性質可知:對於同一個模,同餘的乘方仍同餘。
因為,
1990被3除餘1,即19901990≡11990≡1,
所以19901990除以3所得的餘數為1。
例4.有一個77位數,它的各位數字都是1,這個數除以7,餘數是多少?
解:根據被7整除的特徵知,111111能被7整除。
77 ÷6=12(餘5),
11111÷7=1587(餘2)。
所以,這個數除以7的餘數是2。
例5.1,1,2,3,5,8,13,……,90個數排成一列,從第三個數起,每個數都等於它前面兩個數的和。那麼,這90個數的和除以5的餘數是多少?
解:這一列數被5除的餘數依次為1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,……。
餘數從頭起20個數一個週期循環出現,而且這20個數的和40又恰為5的倍數。
90÷20=4(餘10)
這列數中前10個數的餘數和為
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
18÷5=3(餘3)
所以,這90個數的`和除以5的餘數為3。
練習題:
1. 一個三位數被37除餘17,被36除餘3,那麼這個三位數是多少?
2. 已知整數n除以3餘2,求n除以12的餘數?
3. 某數除以13餘5,除以17餘8,除以21餘4,求此數最小是多少?
4. 號碼分別為101,126,173,193的四個運動員進行乒乓球比賽,規定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被3除所得的餘數。那麼,打球盤數最多的運動員打了多少盤?
5. 求21000除以13的餘數是多少?
6. 當n是1到1992之間的一個自然數時,把它的各位數字相加,如果它的和不是一個一位數,那麼把它的各位數再相加,如此繼續下去,直到得到一個從1到9的一位數為止(例如:468→18→9)。問在1到1992這1992個自然數經過上述方法處理後所得的1992個一位數中,3多還是4多?多幾個?
7. 由2000個2組成的數除以13,所得的餘數是幾?
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