帶餘數的除法奧數題精選
帶餘數的除法奧數題
一個數除150餘6,除250餘10,除350餘14,這個數最大是().
考點:帶餘除法.
分析:把這三個數分別去掉各自的餘數,能被要求的數整除,然後把這三個數分解質因數,那麼求出剩下的三個數的最大公因數就是要求的數,據此解答.
解:150-6=144=2×2×2×2×3×3,
250-10=240=2×2×2×2×3×5,
350-14=336=2×2×2×2×3×7,
蘇教版五年級帶餘數的除法奧數題:那麼144、240、336的最大公因數就是:2×2×2×2×3=48,
所以這個數最大是48.
故答案為:48.
點評:本題關鍵是理解這三個數分別去掉各自的餘數,能被要求的數整除,即剩下的三個數的最大公因數就是要求的數.
帶餘數的除法奧數題精選2例如:16÷3=5…1,即16=5×3+1.此時,被除數除以除數出現了餘數,我們稱之為帶餘數的除法。
一般地,如果a是整數,b是整數(b≠0),那麼一定有另外兩個整數q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r。
當r=0時,我們稱a能被b整除。
當r≠0時,我們稱a不能被b整除,r為a除以b的餘數,q為a除以b的不完全商(亦簡稱為商).用帶餘除式又可以表示為a÷b=q…r,0≤r<b。
例1 一個兩位數去除251,得到的餘數是41.求這個兩位數。
分析 這是一道帶餘除法題,且要求的數是大於41的兩位數.解題可從帶餘除式入手分析。
解:∵被除數÷除數=商…餘數,
即被除數=除數×商+餘數,
∴251=除數×商+41,
251-41=除數×商,
∴210=除數×商。
∵210=2×3×5×7,
∴210的兩位數的約數有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大於餘數41.所以除數是42或70.即要求的兩位數是42或70。
例2 用一個自然數去除另一個整數,商40,餘數是16.被除數、除數、商數與餘數的和是933,求被除數和除數各是多少?
解:∵被除數=除數×商+餘數,
即被除數=除數×40+16。
由題意可知:被除數+除數=933-40-16=877,
∴(除數×40+16)+除數=877,
∴除數×41=877-16,
除數=861÷41,
除數=21,
∴被除數=21×40+16=856。
答:被除數是856,除數是21。
例3 某年的'十月裏有5個星期六,4個星期日,問這年的10月1日是星期幾?
解:十月份共有31天,每週共有7天,
∵31=7×4+3,
∴根據題意可知:有5天的星期數必然是星期四、星期五和星期六。
∴這年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日,從3月17日作為第一天開始往回數(即3月16日(第二天),15日(第三天),…)的第1993天是星期幾?
解:每週有7天,1993÷7=284(周)…5(天),
從星期日往回數5天是星期二,所以第1993天必是星期二.
例5 一個數除以3餘2,除以5餘3,除以7餘2,求適合此條件的最小數。
這是一道古算題.它早在《孫子算經》中記有:“今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?”
關於這道題的解法,在明朝就流傳着一首解題之歌:“三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,七子團圓正半月,除百零五便得知.”意思是,用除以3的餘數乘以70,用除以5的餘數乘以21,用除以7的餘數乘以15,再把三個乘積相加.如果這三個數的和大於105,那麼就減去105,直至小於105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下:
方法1:2×70+3×21+2×15=233
233-105×2=23
符合條件的最小自然數是23。
例5 的解答方法不僅就這一種,還可以這樣解:
方法2:[3,7]+2=23
23除以5恰好餘3。
所以,符合條件的最小自然數是23。
方法2的思路是什麼呢?讓我們再來看下面兩道例題。
例6 一個數除以5餘3,除以6餘4,除以7餘1,求適合條件的最小的自然數。
分析 “除以5餘3”即“加2後被5整除”,同樣“除以6餘4”即“加2後被6整除”。
解:[5,6]-2=28,即28適合前兩個條件。
想:28+[5,6]×?之後能滿足“7除餘1”的條件?
28+[5,6]×4=148,148=21×7+1,
又148<210=[5,6,7]
所以,適合條件的最小的自然數是148。
例7 一個數除以3餘2,除以5餘3,除以7餘4,求符合條件的最小自然數。
解:想:2+3×?之後能滿足“5除餘3”的條件?
2+3×2=8。
再想:8+[3,5]×?之後能滿足“7除餘4”的條件?
8+[3,5]×3=53。
∴符合條件的最小的自然數是53。
歸納以上兩例題的解法為:逐步滿足條件法.當找到滿足某個條件的數後,為了再滿足另一個條件,需做數的調整,調整時注意要加上已滿足條件中除數的倍數。
解這類題目還有其他方法,將會在有關“同餘”部分講到。
例8 一個布袋中裝有小球若干個.如果每次取3個,最後剩1個;如果每次取5個或7個,最後都剩2個.布袋中至少有小球多少個?
解:2+[5,7]×1=37(個)
∵37除以3餘1,除以5餘2,除以7餘2,
∴布袋中至少有小球37個。
例9 69、90和125被某個正整數N除時,餘數相同,試求N的最大值。
分析 在解答此題之前,我們先來看下面的例子:
15除以2餘1,19除以2餘1,
即15和19被2除餘數相同(餘數都是1)。
但是19-15能被2整除.
由此我們可以得到這樣的結論:如果兩個整數a和b,均被自然數m除,餘數相同,那麼這兩個整數之差(大-小)一定能被m整除。
反之,如果兩個整數之差恰被m整除,那麼這兩個整數被m除的餘數一定相同。
例9可做如下解答:
∵三個整數被N除餘數相同,
∴N|(90-69),即N|21,N|(125-90),即N|35,
∴N是21和35的公約數。
∵要求N的最大值,
∴N是21和35的最大公約數。
∵21和35的最大公約數是7,
∴N最大是7。
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