如何理解高中數學中充要條件具體概念
“充要條件”是數學中極其重要的一個概念。
(1)先看“充分條件和必要條件”
當命題“若p則q”為真時,可表示為p=>q,則我們稱p為q的充分條件,q是p的必要條件。這裏由p=>q,得出p為q的充分條件是容易理解的。
但為什麼説q是p的必要條件呢?
事實上,與“p=>q”等價的逆否命題是“非q=>非p”。它的意思是:若q不成立,則p一定不成立。這就是説,q對於p是必不可少的,因而是必要的。
(2)再看“充要條件”
若有p=>q,同時q=>p,則p既是q的充分條件,又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。記作p<=>q
回憶一下國中學過的“等價於”這一概念;如果從命題A成立可以推出命題B成立,反過來,從命題B成立也可以推出命題A成立,那麼稱A等價於B,記作A<=>B。“充要條件”的含義,實際上與“等價於”的含義完全相同。也就是説,如果命題A等價於命題B,那麼我們説命題A成立的充要條件是命題B成立;同時有命題B成立的'充要條件是命題A成立。
(3)定義與充要條件
數學中,只有A是B的充要條件時,才用A去定義B,因此每個定義中都包含一個充要條件。如“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是説,一個四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對邊分別平行。
顯然,一個定理如果有逆定理,那麼定理、逆定理合在一起,可以用一個含有充要條件的語句來表示。
“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示,其中“當”表示“充分”。“僅當”表示“必要”。
(4)一般地,定義中的條件都是充要條件,判定定理中的條件都是充分條件,性質定理中的“結論”都可作為必要條件。
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