國中數學《弧長及扇形的面積》教學設計

教學目標

（一）教學知識點

1．經歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程；

2．瞭解弧長計算公式及扇形面積計算公式，並會應用公式解決問題．

（二）能力訓練要求

1．經歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程，培養學生的探索能力．

2．瞭解弧長及扇形面積公式後，能用公式解決問題，訓練學生的數學運用能力．

（三）情感與價值觀要求

1．經歷探索弧長及扇形面積計算公式，讓學生體驗教學活動充滿着探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性．

2．通過用弧長及扇形面積公式解決實際問題，讓學生體驗數學與人類生活的密切聯繫，激發學生學習數學的興趣，提高他們的學習積極性，同時提高大家的運用能力．

教學重點

1．經歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程．

2．瞭解弧長及扇形面積計算公式．

3．會用公式解決問題．

教學難點

1．探索弧長及扇形面積計算公式．

2．用公式解決實際問題．

教學方法

學生互相交流探索法

教具準備

2．投影片四張

第一張：（記作§A）

第二張：（記作§B）

第三張：（記作§C）

第四張：（記作§D）

教學過程

Ⅰ．創設問題情境，引入新課

[師]在國小我們已經學習過有關圓的周長和麪積公式，弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那麼弧長與扇形面積應怎樣計算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關係呢？本節課我們將進行探索．

Ⅱ．新課講解

一、複習

1．圓的周長如何計算？

2．圓的面積如何計算？

3．圓的圓心角是多少度？

[生]若圓的半徑為r，則周長l＝2πr，面積S＝πr2，圓的圓心角是360°．

二、探索弧長的計算公式

投影片（§A）

如圖，某傳送帶的一個轉動輪的半徑為10cm．

（1）轉動輪轉一週，傳送帶上的物品A被傳送多少釐米？

（2）轉動輪轉1°，傳送帶上的物品A被傳送多少釐米？

（3）轉動輪轉n°，傳送帶上的物品A被傳送多少釐米？

[師]分析：轉動輪轉一週，傳送帶上的物品應被傳送一個圓的周長；因為圓的周長對應360°的圓心角，所以轉動輪轉1°，傳送帶上的物品A被傳送圓周長的 ；轉動輪轉n°，傳送帶上的物品A被傳送轉1°時傳送距離的n倍．

[生]解：（1）轉動輪轉一週，傳送帶上的物品A被傳送2π×10＝20πcm；

（2）轉動輪轉1°，傳送帶上的物品A被傳送 cm；

（3）轉動輪轉n°，傳送帶上的物品A被傳送n× ＝cm．

[師]根據上面的計算，你能猜想出在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式嗎？請大家互相交流．

[生]根據剛才的討論可知，360°的圓心角對應圓周長2πR，那麼1°的圓心角對應的弧長為 ，n°的圓心角對應的弧長應為1°的圓心角對應的弧長的n倍，即n× ．

[師]表述得非常棒．

在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的`弧長（arclength）的計算公式為：

l＝ ．

下面我們看弧長公式的運用．

三、例題講解

投影片（§B）

製作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算下圖中管道的展直長度，即 的長（結果精確到0。1mm）．

分析：要求管道的展直長度，即求 的長，根根弧長公式l＝ 可求得 的長，其中n為圓心角，R為半徑．

解：R＝40mm，n＝110．

∴ 的長＝ πR＝ ×40π≈76。8mm．

因此，管道的展直長度約為76。8mm．

四、想一想

投影片（§C）

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴着一條長3m的繩子，繩子的另一端拴着一隻狗．

（1）這隻狗的最大活動區域有多大？

（2）如果這隻狗只能繞柱子轉過n°角，那麼它的最大活動區域有多大？

[師]請大家互相交流．

[生]（1）如圖（1），這隻狗的最大活動區域是圓的面積，即9π；

（2）如圖（2），狗的活動區域是扇形，扇形是圓的一部分，360°的圓心角對應的圓面積，1°的圓心角對應圓面積的 ，即 ×9π＝ ，n°的圓心角對應的圓面積為n× ＝ ．

[師]請大家根據剛才的例題歸納總結扇形的面積公式．

[生]如果圓的半徑為R，則圓的面積為πR2，1°的圓心角對應的扇形面積為 ，n°的圓心角對應的扇形面積為n ．因此扇形面積的計算公式為S扇形＝ πR2，其中R為扇形的半徑，n為圓心角．

五、弧長與扇形面積的關係

[師]我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式為l＝ πR，n°的圓心角的扇形面積公式為S扇形＝ πR2，在這兩個公式中，弧長和扇形面積都和圓心角n．半徑R有關係，因此l和S之間也有一定的關係，你能猜得出嗎？請大家互相交流．

[生]∵l＝ πR，S扇形＝ πR2，

∴ πR2＝ R πR．∴S扇形＝ lR．

六、扇形面積的應用

投影片（§D）

扇形AOB的半徑為12cm，∠AOB＝120°，求 的長（結果精確到0。1cm）和扇形AOB的面積（結果精確到0。1cm2）

分析：要求弧長和扇形面積，根據公式需要知道半徑R和圓心角n即可，本題中這些條件已經告訴了，因此這個問題就解決了．

解： 的長＝ π×12≈25。1cm．

S扇形＝ π×122≈150。7cm2．

因此， 的長約為25。1cm，扇形AOB的面積約為150。7cm2．

Ⅲ．課堂練習

隨堂練習

Ⅳ．課時小結

本節課學習瞭如下內容：

1．探索弧長的計算公式l＝ πR，並運用公式進行計算；

2．探索扇形的面積公式S＝ πR2，並運用公式進行計算；

3．探索弧長l及扇形的面積S之間的關係，並能已知一方求另一方．

Ⅴ．課後作業

習題節選

Ⅵ．活動與探究

如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得的 的長為6π cm， 的長為10π cm，又AC＝12cm，求陰影部分ABDC的面積．

分析：要求陰影部分的面積，需求扇形COD的面積與扇形AOB的面積之差．根據扇形面積S＝ lR，l已知，則需要求兩個半徑OC與OA，因為OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

解：設OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根據已知條件有：

得 ．

∴3（R＋12）＝5R，∴R＝18．

∴OC＝18＋12＝30．

∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝ ×10π×30－ ×6π×18＝96π cm2．

所以陰影部分的面積為96π cm2．

板書設計

27。4弧長及扇形的面積

一、1．複習圓的周長和麪積計算公式；

2．探索弧長的計算公式；

3．例題講解；

4．想一想；

5．弧長及扇形面積的關係；

6．扇形面積的應用．

二、課堂練習

三、課時小結

四、課後作業