高二數學《等差數列及其前n項和》知識點
一、等差數列的有關概念:
1.定義:如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等於同一個常數,那麼這個數列就叫做等差數列.符號表示為an+1-an=d(n∈N*,d為常數).
2.等差中項:數列a,A,b成等差數列的充要條件是A=(a+b)/2,其中A叫做a,b的等差中項.
二、等差數列的有關公式
1.通項公式:an=a1+(n-1)d.
2.前n項和公式:Sn=na1+n(n-1)/2d+d=(a1+an)n/2.
三、等差數列的性質
1.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,{an}為等差數列,則am+an=ap+aq.
2.在等差數列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍為等差數列,公差為kd.
3.若{an}為等差數列,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍為等差數列,公差為n2d.
4.等差數列的增減性:d>0時為遞增數列,且當a1<0時前n項和Sn有最小值.d<0 a1="">0時前n項和Sn有最大值.
5.等差數列{an}的首項是a1,公差為d.若其前n項之和可以寫成Sn=An2+Bn,則A=d/2,B=a1-d/2,當d≠0時它表示二次函數,數列{an}的前n項和Sn=An2+Bn是{an}成等差數列的充要條件.
四、解題方法
1.與前n項和有關的三類問題
(1)知三求二:已知a1、d、n、an、Sn中的任意三個,即可求得其餘兩個,這體現了方程思想.
(2)Sn=d/2*n2+(a1-d/2)n=An2+Bn?d=2A.
(3)利用二次函數的圖象確定Sn的`最值時,最高點的縱座標不一定是最大值,最低點的縱座標不一定是最小值.
2.設元與解題的技巧
已知三個或四個數組成等差數列的一類問題,要善於設元,若奇數個數成等差數列且和為定值時,可設為…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;
若偶數個數成等差數列且和為定值時,可設為…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其餘各項再依據等差數列的定義進行對稱設元
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