解答數學問題的三類方法
對於中學階段用於解答數學問題的方法,可將其分為三類:
(1)具有創立學科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、結構化方法,以及集合論方法、極限方法、座標方法、向量方法等。在具體的解題中,具有統帥全局的作用。
(2)體現一般思維規律的方法。如觀察、試驗、比較、分類、猜想、類比、聯想、歸納、演繹、分析、綜合等。在具體的解題中,有通性通法、適應面廣的特徵,常用於思路的發現與探求。
(3)具體進行論證演算的方法。這又可以依其適應面分為兩個層次:第一層次是適應面較寬的求解方法,如消元法、換元法、降次法、待定係數法、反證法、同一法、數學歸納法(即遞推法)、座標法、三角法、數形結合法、構造法、配方法等等;第二層次是適應面較窄的求解技巧,如因式分解法以及因式分解裏的“裂項法”、函數作圖的“描點法”、以及三角函數作圖的“五點法”、幾何證明裏的“截長補短法”、“補形法”、數列求和裏的“裂項相消法”等。
我們知道,數學是關於數與形的科學,數與形的有機結合是數學解題的基本思想。數學是關於模式的科學,這反映了在數學解題時,需要進行“模式識別”,需要構建標準的'模型。往往遇到的問題是標準模型裏的參數是需要待定的,這説明待定係數法屬於解題的通性通法。數學是一種符號,引入符號可以將自然語言轉換為符號語言,通過中間量的代換,就能將複雜問題簡單化。數學解題就是一系列連續的化歸與轉化,將複雜問題簡單化、陌生問題熟悉化,其消元、減少參變元的個數是常用的方法。在代數式的變形中,則往往要分離出非負的量,配方技術是經常使用且很奏效的方法。
數形轉換、待定係數、變量代換、消元、配方法等是中學數學解題的通性通法。把幾何的直觀推理、代數的有序推理、解題的通性通法與具體的案例結合起來,整體把握數學解題的通性通法,抓住通性通法的本質,科學有效地實施解題分析、解題思維鏈的形成、解題後的反思與優化,從而通過有限問題的訓練來獲得解答無限問題的解題智慧。
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