《函數奇偶性》教學設計

函數奇偶性是數學學習中較為難以理解的章節，教師要做好教學引導工作，下面是小編給大家提供的函數奇偶性教學設計，大家可以參考閲讀，更多內容請關注應屆畢業生考生網。

　　整體設計

　　教學分析

本節討論函數的奇偶性是描述函數整體性質的.教材沿用了處理函數單調性的方法，即先給出幾個特殊函數的圖象，讓學生通過圖象直觀獲得函數奇偶性的認識，然後利用表格探究數量變化特徵，通過代數運算，驗證發現的數量特徵對定義域中的“任意”值都成立，最後在這個基礎上建立了奇(偶)函數的概念.因此教學時，充分利用信息技術創設教學情境，會使數與形的結合更加自然.

值得注意的問題：對於奇函數，教材在給出的表格中留出大部分空格，旨在讓學生自己動手計算填寫數據，仿照偶函數概念建立的過程，獨立地去經歷發現、猜想與證明的全過程，從而建立奇函數的概念.教學時，可以通過具體例子引導學生認識，並不是所有的函數都具有奇偶性，如函數y=x與y=2x-1既不是奇函數也不是偶函數，可以通過圖象看出也可以用定義去説明.

　　三維目標

1.理解函數的奇偶性及其幾何意義，培養學生觀察、抽象的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力.

2.學會運用函數圖象理解和研究函數的性質，掌握判斷函數的奇偶性的方法，滲透數形結合的數學思想.

　　重點難點

　　教學重點：函數的奇偶性及其幾何意義.

　　教學難點：判斷函數的奇偶性的方法與格式.

　　課時安排：1課時

　　教學過程

　　導入新課

思路1.同學們，我們生活在美的世界中，有過許多對美的感受，請大家想一下有哪些美呢?(學生回答可能有和諧美、自然美、對稱美……)今天，我們就來討論對稱美，請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢?(學生舉例，再在屏幕上給出一組圖片：喜字、蝴蝶、建築物、麥當勞的標誌)生活中的美引入我們的數學領域中，它又是怎樣的情況呢?下面，我們以麥當勞的標誌為例，給它適當地建立平面直角座標系，那麼大家發現了什麼特點呢?(學生髮現：圖象關於y軸對稱)數學中對稱的形式也很多，這節課我們就同學們談到的與y軸對稱的函數展開研究.

思路2.結合軸對稱與中心對稱圖形的定義，請同學們觀察圖形，説出函數y=x2和y=x3的圖象各有怎樣的對稱性?引出課題：函數的奇偶性.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

(1)如圖1所示，觀察下列函數的圖象，總結各函數之間的共性.

圖1

(2)如何利用函數的解析式描述函數的.圖象關於y軸對稱呢?填寫表1和表2，你發現這兩個函數的解析式具有什麼共同特徵?

表1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=x2

表2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=|x|

(3)請給出偶函數的定義.

(4)偶函數的圖象有什麼特徵?

(5)函數f(x)=x2，x∈[-1,2]是偶函數嗎?

(6)偶函數的定義域有什麼特徵?

(7)觀察函數f(x)=x和f(x)=1x的圖象，類比偶函數的推導過程，給出奇函數的定義和性質?

活動：教師從以下幾點引導學生：

(1)觀察圖象的對稱性.

(2)學生給出這兩個函數的解析式具有什麼共同特徵後，教師指出：這樣的函數稱為偶函數.

(3)利用函數的解析式來描述.

(4)偶函數的性質：圖象關於y軸對稱.

(5)函數f(x)=x2，x∈[-1,2]的圖象關於y軸不對稱;對定義域[-1,2]內x=2，f(-2)不存在，即其函數的定義域中任意一個x的相反數-x不一定也在定義域內，即f(-x)=f(x)不恆成立.

(6)偶函數的定義域中任意一個x的相反數-x一定也在定義域內，此時稱函數的定義域關於原點對稱.

(7)先判斷它們的圖象的共同特徵是關於原點對稱，再列表格觀察自變量互為相反數時，函數值的變化情況，進而抽象出奇函數的概念，再討論奇函數的性質.

給出偶函數和奇函數的定義後，要指明：①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質;②由函數的奇偶性定義，可知函數具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x，則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關於原點對稱);③具有奇偶性的函數的圖象的特徵：偶函數的圖象關於y軸對稱，奇函數的圖象關於原點對稱;④可以利用圖象判斷函數的奇偶性，這種方法稱為圖象法，也可以利用奇偶函數的定義判斷函數的奇偶性，這種方法稱為定義法; ⑤函數的奇偶性是函數在定義域上的性質，是“整體”性質，而函數的單調性是函數在定義域的子集上的性質，是“局部”性質.

討論結果：(1)這兩個函數之間的圖象都關於y軸對稱.

(2)

表1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9

表2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3

這兩個函數的解析式都滿足：

f(-3)=f(3);

f(-2)=f(2);

f(-1)=f(1).

可以發現對於函數定義域內任意的兩個相反數，它們對應的函數值相等，也就是説對於函數定義域內任一個x，都有f(-x)=f(x).

(3)一般地，如果對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數.

(4)偶函數的圖象關於y軸對稱.

(5)不是偶函數.

(6)偶函數的定義域關於原點對稱.

(7)一般地，如果對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼函數f(x)就叫做奇函數.奇函數的圖象關於原點中心對稱，其定義域關於原點對稱.

　　應用示例

　　思路1

例1 判斷下列函數的奇偶性：

(1)f(x)=x4;

(2)f(x)=x5;

(3)f(x)=x+1x;

(4)f(x)=1x2.

活動：學生思考奇偶函數的定義，利用定義來判斷其奇偶性.先求函數的定義域，並判斷定義域是否關於原點對稱，如果定義域關於原點對稱，那麼再判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).

解：(1)函數的定義域是R，對定義域內任意一個x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，

所以函數f(x)=x4是偶函數.

(2)函數的定義域是R，對定義域內任意一個x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)，

所以函數f(x)=x5是奇函數.

(3)函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞)，對定義域內任意一個x，都有f(-x)=-x+1-x=-x+1x=-f(x)，

所以函數f(x)=x+1x是奇函數.

(4)函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞)，對定義域內任意一個x，都有f(-x)=1(-x)2=1x2=f(x)，所以函數f(x)=1x2是偶函數.

點評：本題主要考查函數的奇偶性.函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值範圍，對定義域內任意x，其相反數-x也在函數的定義域內，此時稱為定義域關於原點對稱.

利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：

①首先確 定函數的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱;

②確定f(-x)與f(x)的關係;

③作出相應結論：

若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數;

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數.

變式訓練

設f(x)是R上的任意函數，則下列敍述正確的是(　　)

A.f(x)f(-x)是奇函數

B.f(x)|f(-x)|是奇函數

C.f(x)-f(-x)是偶函數

D.f(x)+f(-x)是偶函數

解析：A中設F(x)=f(x)f(-x)，則F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函數F(x)=f(x)f(-x)為偶函數;

B中設F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此時F(x)與F(-x)的關係不能確定，即函數F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不確定;

C中設F(x)=f(x)-f(-x)，F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函數F(x)=f(x)-f(-x)為奇函數;

D中設F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f( x)=F(x)，即函數F(x)=f(x)+f(-x)為偶函數.

答案：D

例2 已知函數f(x)是定義在(-∞，+∞)上的偶函數.當x∈(-∞，0)時，f(x)=x-x4，則當x∈(0，+∞)時，f(x)=__________.