大學聯考數學導數的應用必考知識點整理

一、函數的單調性

在(a，b)內可導函數f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區間內都不恆等於0.

f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數.

f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上為減函數.

1、f′(x)>0與f(x)為增函數的關係：f′(x)>0能推出f(x)為增函數，但反之不一定.如函數f(x)=x3在(-∞，+∞)上單調遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數的充分

不必要條件.

2、可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，即f′(x0)=0是可導函數f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.例如函數y=x3在x=0處有y′|x=0=0，但x=0不是極值點.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點.

3、可導函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局部對函數值的比較;函數的最值是表示函數在一個區間上的情況，是對函數在整個區間上的函數值的比較.

二、函數的極值

1、函數的極小值：

函數y=f(x)在點x=a的函數值f(a)比它在點x=a附近其它點的`函數值都小，f′(a)=0，而且在點x=a附近的左側f′(x)<0 f="" x="">0，則點a叫做函數y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y=f(x)的極小值.

2、函數的極大值：

函數y=f(x)在點x=b的函數值f(b)比它在點x=b附近的其他點的函數值都大，f′(b)=0，而且在點x=b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，則點b叫做函數y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y=f(x)的極大值.

極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值.

三、函數的最值

1、在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.

2、

若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值;若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值.

四、求可導函數單調區間的一般步驟和方法

1、確定函數f(x)的定義域;

2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定義域內的一切實數根;

3、把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫座標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然後用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間;

4、確定f′(x)在各個開區間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性.

五、求函數極值的步驟

1、確定函數的定義域;

2、求方程f′(x)=0的根;

3、用方程f′(x)=0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區間，並形成表格;

4、由f′(x)=0根的兩側導數的符號來判斷f′(x)在這個根處取極值的情況.

六、求函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟

1、求函數在(a，b)內的極值;

2、求函數在區間端點的函數值f(a)，f(b);

3、將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.