數的整除數論奧數知識講解及習題

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有餘數，那麼叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;

二、整除判斷方法：

1。能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

2。能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

3。能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

4。能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

5。能被7整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的2倍後能被7整除。

6。能被11整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的.數之差能被11整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最後一位數字並減去末位數字後能被11整除。

7。能被13整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的9倍後能被13整除。

三、整除的性質：

1。如果a、b能被c整除，那麼（a+b）與（a—b）也能被c整除。

2。如果a能被b整除，c是整數，那麼a乘以c也能被b整除。

3。如果a能被b整除，b又能被c整除，那麼a也能被c整除。

4。如果a能被b、c整除，那麼a也能被b和c的最小公倍數整除。

例題：

在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等於幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除，那麼

5+6+□+2=13+□

應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除;

如果56□2能被8整除，那麼6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除;

如果56□2能被4整除，那麼□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。