數論問題奧數題及答案:數的整除性
數的整除性規律
【能被2或5整除的數的特徵】一個數的末位能被2或5整除,這個數就能被2或5整除
【能被3或9整除的數的特徵】一個數,當且僅當它的各個數位上的'數字之和能被3和9整除時,這個數便能被3或9整除。
例如,1248621各位上的數字之和是1+2+4+8+6+2+1=24
3|24,則3|1248621。
又如,372681各位上的數字之和是3+7+2+6+8+1=27
9|27,則9|372681。
【能被4或25整除的數的特徵】一個數,當且僅當它的末兩位數能被4或25整除時,這個數便能被4或25整除。
例如,
173824的末兩位數為24,4|24,則4|173824。
43586775的末兩位數為75,25|75,則25|43586775。
【能被8或125整除的數的特徵】一個數,當且僅當它的末三位數字為0,或者末三位數能被8或125整除時,這個數便能被8或125整除。
例如,
32178000的末三位數字為0,則這個數能被8整除,也能夠被125整除。
3569824的末三位數為824,8|824,則8|3569824。
214813750的末三位數為750,125|750,則125|214813750。
【能被7、11、13整除的數的特徵】一個數,當且僅當它的末三位數字所表示的數,與末三位以前的數字所表示的數的差(大減小的差)能被7、11、13整除時,這個數就能被7、11、13整除。
例如,75523的末三位數為523,末三位以前的數字所表示的數是75,523-75=448,448÷7=64,即7|448,則7|75523。
又如,1095874的末三位數為874,末三位以前的數字所表示的數是1095,1095-874=221,221÷13=17,即13|221,則13|1095874。
再如,868967的末三位數為967,末三位以前的數字所表示的數是868,967-868=99,99÷11=9,即11|99,則11|868967。
此外,能被11整除的數的特徵,還可以這樣敍述:一個數,當且僅當它的奇數位上數字之和,與偶數位上數字之和的差(大減小)能被11整除時,則這個數便能被11整除。
例如,4239235的奇數位上的數字之和為4+3+2+5=14,偶數位上數字之和為2+9+3=14,二者之差為14-14=0,0÷11=0,即11|0,則11|4239235。
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