四年級數學“認識平行”的教案

平行是幾何概念，在認識直線以後教學。啟東蔡宏聖老師的教學實錄，常州趙智敏老師的教學設計，都先讓學生在熟悉的活動中提取已有經驗，再觀察、比較、分類，由表及裏地體會概念的本質屬性，然後識別生活裏的平行現象，加強對概念的理解。這些安排，尊重學生的數學現實，符合認知原理，較好地體現了教材的意圖。

我們能夠看到蔡老師厚實的教學功底和先進的教學理念。表現在：一是課的導入細緻，處處為學生着想。從兩支鉛筆掉在地上的情境，思考可能出現哪些情況，引導學生利用經驗充分想象；用兩條直線表示掉在地上的兩支鉛筆，讓學生畫出可能出現的各種情況，感受數學知識與方法能表達生活現象，為認識平行積累感知材料；為學生提供點子圖，便於畫出不相交的直線，初步感知不相交的含義。二是課中交流有深度，時時和學生互動。如，教師指着圖形問：這兩條直線相交嗎？學生異口同聲回答：不相交。他一邊板書不相交，一邊説：我們沒有看到相交，但不知把兩條直線畫得長一些，是什麼結果？這句啟發性的話語，引導學生用直線概念分析現象，畫出或想出這兩條直線是相交的，糾正了原來的認識偏差。再如，教師指着圖形問：這兩條直線也相交嗎？引導學生通過多種方法進行驗證，確認這兩條直線不相交

趙老師對教材的使用比較充分，教師努力理解教材設計的教學線索和主要活動，儘量把教材意圖落實到教學之中。為了使學生理解直線的相交與不相交，引導學生擺小棒、畫直線，對大量感知材料進行分類、比較；為了突出平行是兩條直線的位置關係，結合實例及時板書互相平行，還讓學生説説誰是誰的平行線。教師還精心安排教材中試一試想想做做的教學，從安排時間看，有利於及時鞏固概念、形成技能；從教法看，預設了交流、反饋與評價

研究兩位老師的教學，聯想許多教師在教學中存在的困惑，有幾點想法和大家交流。

第一，教材第87頁例題有三層內容，首先聯繫現實情境，教學兩條直線相交與不相交；然後利用兩條直線不相交，教學平行的概念；最後説一説生活中常見的平行實例，用數學知識描述、解釋生活現象。

本單元的教學重點是平行和垂直。以前教材的單元標題為平行與垂直或垂線與平行線。本單元的標題為什麼用平行和相交？為什麼先教學直線的相交與不相交？這些問題都應在鑽研教材時弄明白。

可以從三個方面來回答上面的問題。首先，同一平面內的兩條直線，可能相交，可能不相交，還可能重合。相交與不相交是常見的位置關係，學生在生活中已有經驗積累，而重合不適宜國小生學習。先教學直線的相交與不相交，能把生活經驗提升成數學概念。其次，同一平面內不相交是平行概念的內涵，兩條直線相交成直角稱互相垂直。可見，同一平面內不相交與互相平行具有同一性，而相交與垂直是屬種關係，後者是前者的真子集。先教學直線的相交與不相交，能形成關於平行、垂直的上位觀念。這樣，全單元的重點就不會是孤立的，而是有結構的。再次，先認識直線的相交與不相交，就能通過下位學習，理解平行與垂直。這是公認的、比較好的認知線索與方式。

既然認識兩條直線相交與不相交是例題的一個教學層次，那麼其教學過程就需要有相應的完整性。儘管兩位教師都引導學生收集豐富的感知材料，開展紮實的感知活動，認識兩條直線相交或不相交，但總感覺還缺了一點。蔡老師的一句話經過一番分析，看來畫在點子圖上的兩條直線或者相交，或者不相交，可以作為這一段教學的小結。如果改造成學生的回顧及小結，變成學生主動的知識建構，就能更充分發揮上位觀念對後繼學習的積極意義，為理解平行、垂直構建認知平台。趙老師在聯繫感知材料，指出兩條直線相交、不相交後，立即從不相交引出平行，顯得有點倉促。適時安排學生回顧、再認學習過程，是《數學課程標準（實驗稿）》對教學活動的要求。

第二，在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行。不相交是概念的內涵，在同一平面內是不可或缺的前提。學生在感知兩條直線的常見位置關係時，對不相交已有感受，因而建立互相平行這個概念時，會關注不相交，疏忽在同一平面內。為此，兩位教師都力求解決這個矛盾。

數學概念是嚴密的。概念的嚴密性要求概念教學也必須是嚴謹的。兩條異面直線雖然不相交，但不一定平行。所以，教學直線互相平行，必須指出它們在同一平面內。數學概念的建立可以分階段，學生對概念中的某一內容，如果受基礎知識、思維發展水平的制約，暫時不能透徹理解，應允許他們先知道，再逐漸深刻領會。在缺乏條件的狀況下，勉強讓他們理解異面直線，恐怕很難達到要求，即使教學投入大量時間和精力，也未必有效。

教學中怎樣妥善處理同一平面內呢？首先，教材與教學給學生提供的感知材料，如掉在地面上的兩支鉛筆，擺在桌面上的兩根小棒，畫在紙上的兩條直線，都在同一平面上。因此，揭示互相平行的含義時，可以聯繫具體材料，先指出鉛筆、小棒、直線都在同一平面內。其次，可以適當舉出淺顯的實例，如桌面上的一條直線與地面上的一條直線，它們不在同一平面內，即使不相交，也不一定互相平行。以此提醒學生注意，我們説的互相平行指的是在同一平面內的直線。並可進一步告訴學生，到中學數學的學習中將會更明白。再次，不要把在同一平面內作為練習與考查的知識點。可以讓學生判斷畫在試卷上的幾組直線，哪些互相平行，哪些不平行，不必讓他們判斷兩條不相交的直線互相平行這句話是對還是錯。

我贊同蔡老師在反思中説的：同一平面內是繞不開的坎，不能不講講得過於深，也沒必要。他選擇立交橋上、下汽車行駛路線作例子也是可以的。趙老師把同一平面內作為教學難點，力求在長方體上突破，無論對教還是學，要求都偏高了。兩位老師首次講互相平行，都只突出不相交，把在同一平面內留到後面補充説明，似乎把有關平行的兩個重點逐一教學。其實，他們首次講的互相平行並不嚴密，在學生建立新概念的最佳時刻，給予不完整的信息，應該是教學的缺陷。

第三，教材裏有關畫平行線的內容也比較多。第88頁例題先讓學生自己找工具想辦法畫一組平行線，再沿着直尺平移三角尺，畫出一組平行線。第89頁第2題，把長方形紙對摺兩次，摺痕是平行線。

編排畫平行線的目的，一是進一步體驗兩條直線互相平行的含義。互相平行的直線永不相交，為了畫出不相交的兩條直線，可以藉助有平行對邊或有平行線的物體為工具，沿着平行的對邊或平行的線畫，物體平移前、後，相對應的線段互相平行，可以通過平移有直邊的物體畫出平行線；把長方形紙連續對摺，摺痕在兩條對邊之間，互相平行且長度相等，有助於體會長方形的兩條對邊也是平行的。二是培養初步的畫圖能力，在生活和學習中，經常需要畫一組平行線，或者畫已知直線的平行線。直尺與三角尺是畫平行線的工具，掌握了畫平行線的方法，既能方便地畫出平行線，還能用來檢驗兩條直線是不是平行。

蔡老師在反思中説：技能與知識本是同根，有了知識的支撐，技能完全可能是學生心智生長的結晶，技能的學習過程完全可以富有生命成長的氣息。他是這樣想的，也是這樣做的。教學的抽象階段，課件演示小旗沿直尺平移的情境，在平移前後的圖形中尋找平行線，滲透了畫平行線的方法。教學的操作階段，學生在徒手移動直尺畫平行線時，自發需要另一根直尺作軌道幫助平移，不僅知道了可以怎樣畫，還明白了為什麼這樣畫。畫平行線的方法不再是機械的程序知識，不再是缺少思維含量的純粹模仿。這一段教學是該課的`亮點，值得大家借鑑。教材裏的想想做做，蔡老師的實錄中沒有看到，也許受篇幅限制刪去了。趙老師把想想做做分兩段進行，在教學互相平行的概念後，安排第1～3題；在教學畫平行線後，安排第4、5題，這樣安排是可以的，如果把部分題目二次使用，就更好了。如第1題，在初步理解互相平行之後憑觀察、想象做出相應的判斷。在教學畫平行線以後再練習這道題，用畫平行線的工具與方法驗證。又如第2題也可以二次使用，第一次直觀判斷，第二次操作驗證。像這些習題二次使用，既有助於及時消化、鞏固新知識，又有助於知識與技能有機融合。

第四，數學教學講究語言準確，尤其是幾何知識的教學，稍不留心，就會用詞不妥當。兩位教師都有這種情況。距離是兩點之間線段的長度。點到直線的距離，是這點到這條直線的垂直線段的長度，即點與垂足之間的距離。兩條互相平行的直線的距離，是夾在兩條直線之間、垂直於兩條直線的線段長度，即兩個對應的垂足間的距離。這些距離都是數學概念。

兩條相交的直線，雖然從一條直線上任取一點，能夠畫出另一條直線的垂直線段，但畫成的垂直線段的長度在區間無限長與0之間，是不穩定的。數學裏把兩條相交直線之間的距離定義為0。

蔡老師用生活概念兩條直線間的寬度，引導學生度量、比較兩條直線間的寬度，體會圖形 裏的兩條直線相交，圖形裏的兩條直線不相交。這一環節的設計，對學生理解平行概念可能會起到一定的作用，但仔細斟酌，其實不夠妥當，也沒有必要。首先，生活概念是日常生活中積澱的與數學有關的認識，這種認識經常不系統、不深刻，甚至不準確。生活概念有時支持數學概念，有時干擾數學概念。教學中，指出相交直線有寬度，還要度量和比較，這樣處理顯然是不妥當的。其次，本節課是認識平行的第一課時，只要求在直觀情境中，通過觀察和想象，判斷兩條直線是不是互相平行，也可以利用畫平行線的方法幫助判斷。給學生的直觀情境，兩條直線的位置關係比較明顯，幾乎一眼就能看出。對圖形裏的兩條直線，學生的交流畫長一些會相交，那條直線斜過來了，表明他們已經看出這兩條直線的位置關係，確信兩條直線相交。對圖形裏兩條直線不相交，例題只要求學生直觀判斷，不要求解釋或驗證。再次，結合教學垂直，學生還有深入認識平行的機會，如第45頁第2題兩條平行線之間的垂直線段都相等。可見，教學兩條直線相交或不相交，沒有必要使用兩條直線間的寬度。

直線與線段是兩種幾何圖形，它們有聯繫，更有質的區別，趙老師在教學設計裏有些疏忽。如把每個圖形中的兩條直線都向兩端無限延長，結果會怎樣？直線是沒有端點、無限長的，怎麼向兩端無限延長呢？這句話要改成把圖形中的直線畫長一點，看看會怎樣？又如學生根據小棒畫成的圖形，看成直線還是看成線段？同一平面內兩條直線或是相交、或是平行，而同一平面內兩條線段還可能既不平行，又不相交。教學中把圖形裏的線一會兒説是直線，一會兒説是線段不大好。