數學空間向量及其運算方法

空間向量及其運算

●考試目標 主詞填空

1.空間向量基本定理及應用

空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那麼對空間任一向量p存在惟一的有序實數組x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.

2.向量的直角座標運算：

設a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).

則a+b= .

a-b= .

ab= .

若a、b為兩非零向量，則a⊥b ab=0 =0.

●題型示例 點津歸納

【例1】已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=

∠AOC,且OA=OB=OC.，N分別是OA，BC的中點，G是

N的中點.

求證：OG⊥BC.

【解前點津】 要證OG⊥BC，只須證明 即可.

而要證 ,必須把 、 用一組已知的空間基向量表示.又已知條為∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可選 為已知的基向量.

【規範解答】 連ON由線段中點公式得：

又 ,

所以 )

因為 .

且 ，∠AOB=∠AOC.

所以 =0,即OG⊥BC.

【解後歸納】 本題考查應用平面向量、空間向量和平面幾何知識證線線垂直的能力.

【例2】 在稜長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.

【解前點津】 利用 ，求出向量 與 的夾角〈 , 〉，再根據異面直線BA1，AC所成角的範圍確定異面直線所成角.

【規範解答】 因為 ,

所以

因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2圖

所以 =0,

=-a2.

所以 =-a2.

又

所以〈 〉=120°.

所以異面直線BA1與AC所成的角為60°．

【解後歸納】 求異面直線所成角的關鍵是求異面直線上兩向量的數量積，而要求兩向量的數量積，必須會把所求向量用空間的一組基向量表示.

【例3】 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分

別是BB1、DC的中點.

(1)求AE與D1F所成的角；

(2)證明AE⊥平面A1D1F.

【解前點津】 設已知正方體的稜長為1，且 =e1，

=e2， =e3，以e1，e2,e3為座標向量，建立空間直角座標系D—xyz,

則：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)，

所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).

所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0.

所以 ⊥ ，即AE與D1F所成的角為90°．

(2)又 =(1,0,0)= ，

且 =(1,0,0)(0,1, )=0.

所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.

所以AE⊥平面A1D1F.

【解後歸納】本題考查應用空間向量的'座標運算求異面直線所成的角和證線面垂直的方法.

【例4】 證明：四面體中連接對稜中點的三條直線交於一點且互相平分(此點稱為四面體的重心).

【規範解答】∵E,G分別為AB,AC的中點,

∴EG ,同理HF ，∴EG HF .

從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF,

GH相交於一點O,且O為它們的中點,連接OP,OQ.

只要能證明向量 =- 就可以説明P,O,Q三點共線且O

為PQ的中點,事實上, ,而O為GH的中點, 例4圖

∴ CD,QH CD,

∴= =0.

∴ =,∴PQ經過O點,且O為PQ的中點.

【解後歸納】本例要證明三條直線相交於一點O,我們採用的方法是先證明兩條直線相交於一點,然後證明 兩向量共線,從而説明P、O、Q三點共線進而説明PQ直線過O點.

●對應訓練 分階提升

一、基礎夯實

1.在下列條中,使與A、B、C一定共面的是( )

A. B.

C. D.

2.與向量a=(12,5)平行的單位向量是( )

A. B.

C. D.

3.若向量｛a， b，c｝是空間的一個基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那麼可以與m、n構成空間另一個基底的向量是( )?

A.a B.b ? C. c D.2a?

4. a、b是非零向量，則〈a，b〉的範圍是 ( )?

A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］?

5.若a與b是垂直的，則ab的值是( )?

A.大於0 B.等於零? ?C.小於0 D.不能確定

6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，則a與b( )

A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不對

7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，則線段AB的長度是( )?

A.1 B.2 C.3 D.4

8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，則a+b的值為( )

A.0 B. C. D.8

9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，則m的值為( )?

A.0B.6 C.-6 D.±6

10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，則a+b對應的點為( )

A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)

11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，則a與b的夾角為( )

cos B. C. D.90°

12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,則 是a與b同向或反向的( )

A.充分不必要條 B.必要非充分條?

C.充要條 D.不充分不必要條

二、思維激活

13.已知向量a, b, c滿足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.則ab+bc+ca= .?

14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，則a、b所夾的角為 .

15.已知空間三點A、B、C座標分別為(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，點P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，則P點座標為 .

16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為 .

三、能力提高

17.已知線段AB在平面α內，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，且與α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之間的距離.

18.長方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、B1C1中點，若AB＝BC＝2，AA1＝4，試用向量法求：

(1) 的夾角的大小.

(2)直線A1E與FC所夾角的大小.

19.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、DC的中點，求證：D1F⊥平面ADE.

20.如圖所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一點, ,求證:A1,B1,C1,D1四點共面.

空間向量及其運算習題解答

1.C 由向量共線定義知.?

2.C 設此向量為(x,y),∴ ，?∴

3.C

4.D 根據兩向量所成的角的定義知選D.

5. B 當a⊥b時，ab=0(cos 〈a, b〉=0)?

6.C a=(1,2,-2)=- b ∴a∥b.

7.C AB= =3.?

8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?

∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=

9.B ∵a⊥b ∴1m+52-2(m+2)=0. ∴m=6.

10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).

11.C cos(ab)= =- .

12.A?若 ，則a與b同向或反向，反之不成立.

13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?

∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.

14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夾的角為 .

15.(-8,6,0) 由向量的數量的積求得.

16.9 S=absin〈a, b〉求得.

17.如圖，由AC⊥α，知AC⊥AB.?

過D作DD′⊥α，D′為垂足，則∠DBD′＝30°，

〈 〉＝１２０°，

∴CD2=

＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.

∴CD＝

點評：本題把線段轉化成向量表示，然後利用向量進行運算.

18.如圖，建立空間座標系，則D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)

、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).

由題設可知E(2，1，0)，F(1，2，4).

(1)令 的夾角為θ，?

則cosθ＝ .

∴ 的夾角為π-arccos .

(2)∴直線A1E與FC的夾角為arccos

19.如圖所示，不妨設正方體的稜長為1，且設 ＝i， ＝j， ＝k，

以i、j、k的座標向量建立空間直角座標系D—xyz，

則 ＝（－１，0，０）， ＝(0, ,-1)，?

＝(-1，0，0)(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F.

又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)，

∴ ＝(0，1， )(0， ，-1)＝ - ＝0.

∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE.

點評：利用向量法解決立體幾何問題，首先必須建立適當的座標系.

20.證明：∵

=2

∴A1,B1,C1,D1四點共面.