2022大學高數易錯知識點彙總

在我們平凡無奇的學生時代，説到知識點，大家是不是都習慣性的重視？知識點就是掌握某個問題/知識的學習要點。相信很多人都在為知識點發愁，以下是小編為大家整理的2022大學高數易錯知識點彙總，希望能夠幫助到大家。

大學高數易錯知識點1

1.在一元函數中，若函數在某點連續，則該函數在該點必有極限。若函數在某點不連續，則該函數在該點必無極限。

2.在一元函數中，若函數在某點可導，則函數在該點一定連續。但是如果函數不可導，不能推出函數在該點一定不連續。

3.基本初等函數在其定義域內是連續的，而初等函數在其定義區間上是連續的。

4.若函數在某一區間上連續，則在這個區間上，該函數存在原函數。若函數在某一區間上不連續，則在這個區間上，該函數也可能存在原函數，不能説該函數在區間上必無原函數。

5. 在二元函數中，兩個偏導數存在與該函數的連續性沒有關係。但是若果二元函數可微，則該函數必然連續。

6.在一元函數中，駐點可能是極值點，也可能不是極值點。函數的極值點必是函數的駐點或導數不存在的點。在多元函數中，若偏導數存在，則極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。

7.閉區間上的單調函數必可積。閉區間上的連續函數必可積。閉區間上有界且僅有有限個間斷點的函數可積。

8.有限個無窮小量的和仍是無窮小量。無限個無窮小量的和不一定是無窮小量。有限個無窮小量之積是無窮小量。無限個無窮小量的積不一定是無窮小量。無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量。無窮小量與常數的乘積不一定全是無窮小量。

9.兩個無窮大量之和不一定為無窮大量，兩個無窮大量之積必為無窮大量。無窮大量與常數的乘積不一定全是無窮大量。

10.可導與導函數的關係：可導是對定義域內的點而言的，處處可導則存在導函數，

只要一個函數在定義域內某一點不可導，那麼就不存在導函數，即使該函數在其它各處均可導。

11.連續與可積的關係：如果函數在某區域連續，那麼函數在該區域可積，反之，函數在某區域可積，不能保證函數在該區域連續，比如存在第一類間斷點的函數不連續，但可積。

12.切線與可導之間的關係：有切線不一定可導，是因為垂直於X軸的切線，它的斜率是無窮大，所以不可導。

可以得出結論： 可導必有切線，有切線不一定可導(豎直切線)

高數考試大題包括以下類型：

1.求極限

2.求不定積分或定積分

3.求隱函數的偏導數

4.求二階連續偏導數

5.二重積分

6.求旋轉體積或面積

7.證明題

1.求極限：在求極限的問題中，極限包括函數的極限和數列的極限，但在考試中一般出的都是函數的極限，求函數的極限中，主要是掌握公式，有些不常見的公式一定要記熟。這種類型的題一般屬於簡單題，但往更難一點的方向出題的話，它會和變上限的定積分聯繫在一起出題。

2.求不定積分和定積分，在這類題中，一般會用到換元積分法和分部積分法，還有牛頓萊布尼茨公式。一般情況下，多做些題就沒什麼大問題。

3.求偏導數：偏導數包括一階偏導數和二階偏導數。重點談二階偏導數，尤其是二階混合偏導，在二階以上的混合偏導中，用到的`一個最重要的法則是鏈式法則。

4.證明題：這種題還是離不開公式定理。一般情況下，用羅爾定理和微分中值定理即可，若再複雜的話，有時候就需要微分中值定理和積分中值定理連用，對於這類題，有時間則做，沒時間就不做。

大學高數易錯知識點2

1、導數存在的充分必要條件函數f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導數f-′(x0)右導數f+′(x0)存在相等。

2、函數f(x)在點x0處可導=>函數在該點處連續；函數f(x)在點x0處連續≠>在該點可導。即函數在某點連續是函數在該點可導的必要條件而不是充分條件。

3、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。

4、函數f(x)在點x0處可微=>函數在該點處可導；函數f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數在該點處可導。

大學高數易錯知識點3

1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那麼在開區間(a，b)內至少有一點

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那麼在開區間(a，b)內至少有一點

3、定理(柯西中值定理)如果函數f(x)及F(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且F’(x)在(a，b)內的每一點處均不為零，那麼在開區間(a，b)內至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函數單調性的判定法設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那麼：(1)如果在(a，b)內f’(x)>0，那麼函數f(x)在[a，b]上單調增加；(2)如果在(a，b)內f’(x)<0，那麼函數f(x)在[a，b]上單調減少。

如果函數在定義區間上連續，除去有限個導數不存在的點外導數存在且連續，那麼只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，就能保證f’(x)在各個部分區間內保持固定符號，因而函數f(x)在每個部分區間上單調。

6、函數的極值如果函數f(x)在區間(a，b)內有定義，x0是(a，b)內的一個點，如果存在着點x0的一個去心鄰域，對於這去心鄰域內的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。

在函數取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數為0的點)，但函數的駐點卻不一定是極值點。

定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那麼函數在x0的導數為零，即f’(x0)=0.定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那麼：(1)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恆為正；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恆為負，那麼函數f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f’(x)恆為負；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恆為正，那麼函數f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x)恆為正或恆為負，那麼函數f(x)在x0處沒有極值。

定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’

(x0)=0，f’’(x0)≠0那麼：(1)當f’’(x0)<0時，函數f(x)在x0處取得極大值；(2)當f’’

(x0)>0時，函數f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

7、函數的凹凸性及其判定設f(x)在區間Ix上連續，如果對任意兩點x1，x2恆有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]>[f(x1)+f(x1)]/2，那麼稱f(x)在區間Ix上圖形是凸的。

定理設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內具有一階和二階導數，那麼(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內f’’(x)<0，則f(x)在閉區間[a，b]上的圖形是凸的。

判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區間(a，b)內的實根；(3)對於(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那麼當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。

大學高數易錯知識點4

1、原函數存在定理定理如果函數f(x)在區間I上連續，那麼在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x)；簡單的説連續函數一定有原函數。

分部積分發如果被積函數是冪函數和正餘弦或冪函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，並設冪函數和指數函數為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為u.

2、對於初等函數來説，在其定義區間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。

大學高數易錯知識點5

1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程

2、函數可積的充分條件定理設f(x)在區間[a，b]上連續，則f(x)在區間[a，b]上可積，即連續=>可積。

定理設f(x)在區間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間[a，b]上可積。

3、定積分的若干重要性質性質如果在區間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質設M及m分別是函數f(x)在區間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質説明由被積函數在積分區間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致範圍。

性質(定積分中值定理)如果函數f(x)在區間[a，b]上連續，則在積分區間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、關於廣義積分設函數f(x)在區間[a，b]上除點c(a

大學高數易錯知識點6

1.函數、極限與連續：主要考查極限的計算或已知極限確定原式中的常數；討論函數連續性和判斷間斷點類型；無窮小階的比較；討論連續函數在給定區間上零點的個數或確定方程在給定區間上有無實根。

2.一元函數微分學：主要考查導數與微分的定義；各種函數導數與微分的計算；利用洛比達法則求不定式極限；函數極值；方程的的個數；證明函數不等式；與中值定理相關的證明；最大值、最小值在物理、經濟等方面實際應用；用導數研究函數性態和描繪函數圖形；求曲線漸近線。

3.一元函數積分學：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計算；變上限積分的求導、極限等；積分中值定理和積分性質的證明；定積分的應用，如計算旋轉面面積、旋轉體體積、變力作功等。

4.多元函數微分學：主要考查偏導數存在、可微、連續的判斷；多元函數和隱函數的一階、二階偏導數；多元函數極值或條件極值在與經濟上的應用；二元連續函數在有界平面區域上的最大值和最小值。此外，數學一還要求會計算方向導數、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。

5.多元函數的積分學：包括二重積分在各種座標下的計算，累次積分交換次序。數一還要求掌握三重積分，曲線積分和曲面積分以及相關的重要公式。

6.微分方程及差分方程：主要考查一階微分方程的通解或特解；二階線性常係數齊次和非齊次方程的特解或通解；微分方程的建立與求解。