四年級奧數思維訓練:最不利原則

在日常生活和生產中，我們常常會遇到求最大值或最小值的問題，解答這類問題，常常需要從最不利的情況出發分析問題，這就是最不利原則。

下面通過具體例子説明最不利原則以及它的應用。

例1口袋裏有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球各20個。問：一次最少摸出幾個球，才能保證至少有4個小球顏色相同?

分析與解：如果碰巧一次取出的4個小球的顏色都相同，就回答是“4”，那麼顯然不對，因為摸出的4個小球的顏色也可能不相同。回答是“4”是從最“有利”的情況考慮的，但為了“保證至少有4個小球顏色相同”，就要從最“不利”的情況考慮。如果最不利的情況都滿足題目要求，那麼其它情況必然也能滿足題目要求。

“最不利”的情況是什麼呢?那就是我們摸出3個紅球、3個黃球和3個藍球，此時三種顏色的球都是3個，卻無4個球同色。這樣摸出的9個球是“最不利”的`情形。這時再摸出一個球，無論是紅、黃或藍色，都能保證有4個小球顏色相同。所以回答應是最少摸出10個球。

由例1看出，最不利原則就是從“極端糟糕”的情況考慮問題。如果例1的問題是“最少摸出幾個球就可能有4個球顏色相同”，那麼我們就可以根據最有利的情況回答“4個”。現在的問題是“要保證有4個小球的顏色相同”，這“保證”二字就要求我們必須從最不利的情況分析問題。

例2口袋裏有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球共18個。其中紅球3個、黃球5個、藍球10個。現在一次從中任意取出n個，為保證這n個小球至少有5個同色，n的最小值是多少?

分析與解：與例1類似，也要從“最不利”的情況考慮。最不利的情況是取了3個紅球、4個黃球和4個藍球，共11個。此時袋中只剩下黃球和藍球，所以再取一個球，無論是黃球還是藍球，都可以保證有5個球顏色相同。因此所求的最小值是12。

例3一排椅子只有15個座位，部分座位已有人就座，樂樂來後一看，他無論坐在哪個座位，都將與已就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人?

分析與解：將15個座位順次編為1～15號。如果2號位、5號位已有人就座，那麼就座1號位、3號位、4號位、6號位的人就必然與2號位或5號位的人相鄰。根據這一想法，讓2號位、5號位、8號位、11號位、14號位都有人就座，也就是説，預先讓這5個座位有人就座，那麼樂樂無論坐在哪個座位，必將與已就座的人相鄰。因此所求的答案為5人。