高中生最新的中心極限定理證明

中心極限的定理很是高級，但這個定理不好證明的，因為需要嚴謹的態度。下面就是本站小編給大家整理的中心極限定理證明內容，希望大家喜歡。

　　中心極限定理證明例子

[例1] 高爾頓釘板試驗.

圖中每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由於釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子後以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似於正態分佈.

如果定義:當第次碰到釘子後滾向右邊,令;當第次碰到釘子後滾向左邊,令.則是獨立的,且

那麼由圖形知小珠最後的位置的分佈接近正態.可以想象,當越來越大時接近程度越好.由於時,.因此,顯然應考慮的是的極限分佈.歷史上德莫佛第一個證明了二項分佈的極限是正態分佈.研究極限分佈為正態分佈的極限定理稱為中心極限定理.

　　中心極限定理介紹

設是獨立隨機變量序列,假設存在,若對於任意的,成立

稱服從中心極限定理.

[例2] 設服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數列.

解:服從中心極限定理,則表明

其中.由於,因此

　　故服從中心極限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

在重貝努裏試驗中,事件在每次試驗中出現的概率為為次試驗中事件出現的次數,則

[例3] 用頻率估計概率時的誤差估計.

由德莫佛—拉普拉斯極限定理,

中心極限定理證明解答

第一類問題是已知,求,這隻需查表即可.

第二類問題是已知,要使不小於某定值,應至少做多少次試驗?這時利用求出最小的.

第三類問題是已知,求.

解法如下:先找,使得.那麼,即.若未知,則利用,可得如下估計: .

[例4] 拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的`把握使出現六點的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?

解:由例4中的第二類問題的結論,.即.查表得.將代入,便得. 由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準確得多.

[例5] 已知在重貝努裏試驗中,事件在每次試驗中出現的概率為為次試驗中事件出現的次數,則服從二項分佈:

的隨機變量.求.

解:

因為很大,於是

所以

利用標準正態分佈表,就可以求出的值.

[例6] 某單位內部有260架電話分機,每個分機有0.04的時間要用外線通話,可以認為各個電話分機用不用外線是是相互獨立的,問總機要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.

解:以表示第個分機用不用外線,若使用,則令;否則令.則.

如果260架電話分機同時要求使用外線的分機數為,顯然有.由題意得,

查表得,,故取.於是

取最接近的整數,所以總機至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.

[例7] 根據孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結紅果植株和結黃果植株的比率為3:1,現在種植雜交種400株,試求結黃果植株介於83和117之間的概率.

解:將觀察一株雜交種的果實顏色看作是一次試驗,並假定各次試驗是獨立的.在400株雜交種中結黃果的株數記為,則.

---