高中數學弦切角定理的證明方法
弦切角是幾何中的定理,那它們是怎麼被證明的呢?證明的方法是怎樣的呢?下面就是本站小編給大家整理的弦切角定理證明方法內容,希望大家喜歡。
弦切角定理證明方法一1)連OC、OA,則有OC⊥CD於點C。得OC‖AD,知∠OCA=∠CAD。
而∠OCA=∠OAC,得∠CAD=∠OAC。進而有∠OAC=∠BAC。
由此可知,0A與AB重合,即AB為⊙O的直徑。
(2)連接BC,且作CE⊥AB於點E。立即可得△ABC為Rt△,且∠ACB=Rt∠。
由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE,AC公用,∠CDA=∠CEA,得△CEA≌△CDA,有AD=AE,所以,AC²=AB*AD。
第一題重新證明如下:
首先證明弦切角定理,即有∠ACD=∠CBA 。
連接OA、OC、BC,則有
∠ACD+∠ACO=90°
=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)
=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)
=∠ACO+(1/2)∠AOC,
所以∠ACD=(1/2)∠AOC,
而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等於圓心角的一半),
得∠ACD=∠CBA 。
另外,∠ACD+∠CAD=90°,∠CAD=∠CAB,
所以有∠CAB+∠CBA=90°,得∠BCA=90°,進而AB為⊙O的直徑。
弦切角定理證明方法二證明一:設圓心為O,連接OC,OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等於圓周角的兩倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的度數等於它所夾的'弧的圓周角)
證明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切線,A為切點,弧是弦切角∠BAC所夾的弧.
求證:(弦切角定理)
證明:分三種情況:
(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑,AB切⊙O於A,
∴弧CmA=弧CA
∵為半圓,
∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內部.
過A作直徑AD交⊙O於D,
若在優弧m所對的劣弧上有一點E
那麼,連接EC、ED、EA
則有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圓心O在∠BAC的外部,
過A作直徑AD交⊙O於D
那麼 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
弦切角定理證明方法三若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等
應用舉例
例1:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB為弦的⊙O與AC相切於點A,∠CBA=60° , AB=a 求BC長.
解:連結OA,OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等於斜邊的一半)
例2:如圖,AD是ΔABC中∠BAC的平分線,經過點A的⊙O與BC切於點D,與AB,AC分別相交於E,F.
求證:EF∥BC.
證明:連DF.
AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC於D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3:如圖,ΔABC內接於⊙O,AB是⊙O直徑,CD⊥AB於D,MN切⊙O於C,
求證:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.
證明:∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B,
∵MN切⊙O於C
∴∠MCA=∠B,
∴∠MCA=∠ACD,
即AC平分∠MCD,
同理:BC平分∠NCD.
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