高中數學餘弦定理的常用證明方法

餘弦定理是數學的真理，那該怎麼被證明呢？證明的步驟的是怎樣的呢？下面就是本站小編給大家整理的餘弦定理的證明方法內容，希望大家喜歡。

　　餘弦定理的'證明方法一

在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在鋭角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過A作AD⊥BC於D，則BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因為cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　餘弦定理的證明方法二

在任意△ABC中, 作AD⊥BC.

∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a -->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²

b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB

b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²

b²=c²+a²-2ac*cosB

所以，cosB=(c²+a²-b²)/2ac

　　餘弦定理的證明方法三

如右圖，在ABC中，三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c . 以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角座標系，於是C點座標是(b，0)，由三角函數的定義得B點座標是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 現將CB平移到起點為原點A，則AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根據三角函數的定義知D點座標是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D點座標是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可證 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:

mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

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