數學中定義證明二重極限

二重極限是一個數學難題，那該如何去定義呢？下面就是學習啦小編給大家整理的定義證明二重極限內容，希望大家喜歡。

　　關於二重極限的定義

各類數學教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設函數在點的某一鄰域內有定義(點可以除外)，如果對於任意給定的正數。，總存在正數，使得對於所論鄰域內適合不等式的一切點P(X，y)所對應的函數值都滿足不等式那末，常數A就稱為函數當時的極限.定義2設函數的定義域為是平面上一點，函數在點兒的任一鄰域中除見外，總有異於凡的屬於D的點，若對於任意給定的正數。，總存在正數a，使得對D內適合不等式0<户幾卜8的一切點P，有不等式V(P)一週<。成立，則稱A為函數人P)當P～P。時的極限.定義3設函數X一人工，”的定義域為D，點產人工。，人)是D的聚點，如果對於任意給定的正數。，總存在正數8，使得對於適合不等式的一切點P(X，…ED，都有成立，則稱A為函數當時的極限.以上三種定義的差異主要在於對函數的前提假設不盡相同.定義1要求人X，…在點P入x。，汕)的某去心鄰域內有定義，而定義2允許人工，y)在點P。(X。，入)的任一去心鄰域內都有使人X，y)無定義的點，相應地，定義I要求見的'去心鄰域內的點P都適合/(P)一A卜

　　利用二重極限存在準則證明

(1)當x趨近於正無窮時，(Inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收斂，並求其極限。

1)用夾逼準則:

x大於1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(Inx/x^2)的極限為0

2)用單調有界數列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,單調遞減

且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a為數列下界,則極限存在.

設數列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.

對原始兩邊求極限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

同理可求x0<√a時,極限亦為√a

綜上,數列極限存在,且為√

(一)時函數的極限：

以 時 和 為例引入.

介紹符號: 的意義, 的直觀意義.

定義 ( 和 . )

幾何意義介紹鄰域 其中 為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證 例2驗證 例3驗證 證 ……

(二)時函數的極限：

由 考慮 時的極限引入.

定義函數極限的“ ”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4 驗證 例5 驗證 例6驗證 證 由 =

為使 需有 為使 需有 於是, 倘限制 , 就有

例7驗證 例8驗證 ( 類似有 (三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義: 介紹半鄰域 然後介紹 等的幾何意義.

例9驗證 證 考慮使 的 2.單側極限與雙側極限的關係:

Th類似有: 例10證明: 極限 不存在.

例11設函數 在點 的某鄰域內單調. 若 存在, 則有

= §2 函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

　　考研數學二重極限的定義

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