高中數學弦切角定理的求證方法
弦切角是幾何圖形,但它也是有定理證明的,具體的定理是怎樣的呢?下面就是本站小編給大家整理的弦切角定理證明內容,希望大家喜歡。
弦切角定理之弦切角定義頂點在圓上,一邊和圓相交,另 一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角)
如右圖所示,直線PT切圓O於點C,BC、AC為圓O的弦,∠TCB,∠TCA,∠PCA,∠PCB都為弦切角。
編輯本段弦切角定理
弦切角定理:弦切角的度數等於它所夾的弧的圓心角的度數的'一半.弦切角定理證明:
證明一:設圓心為O,連接OC,OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角的度數的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等於圓周角的兩倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的度數等於它所夾的弧的圓周角)
證明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切線,A為切點,弧是弦切角∠BAC所夾的弧.
求證弦切角定理證明:分三種情況:
(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑,AB切⊙O於A,
∴弧CmA=弧CA
∵為半圓,
∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內部.
過A作直徑AD交⊙O於D,
若在優弧m所對的劣弧上有一點E
那麼,連接EC、ED、EA
則有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圓心O在∠BAC的外部,
過A作直徑AD交⊙O於D
那麼 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
弦切角定理推論內容若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等
應用舉例
例1:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB為弦的⊙O與AC相切於點A,∠CBA=60° , AB=a 求BC長.
解:連結OA,OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等於斜邊的一半)
例2:如圖,AD是ΔABC中∠BAC的平分線,經過點A的⊙O與BC切於點D,與AB,AC分別相交於E,F.
求證:EF∥BC.
證明:連DF.
AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC於D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3:如圖,ΔABC內接於⊙O,AB是⊙O直徑,CD⊥AB於D,MN切⊙O於C,
求證:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.
證明:∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B,
∵MN切⊙O於C
∴∠MCA=∠B,
∴∠MCA=∠ACD,
即AC平分∠MCD,
同理:BC平分∠NCD.
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