人教版向量法證明正弦定理

向量法可以證明很多的數學定理的，比如正弦定理就不錯。下面就是本站小編給大家整理的向量法證明正弦定理內容，希望大家喜歡。

　　向量法證明正弦定理方法一

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O於D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的`圓周角相等,所以∠D等於∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　向量法證明正弦定理方法二

如圖1，△ABC為鋭角三角形，過點A作單位向量j垂直於向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

記向量i ，使i垂直於AC於C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

　　向量法證明正弦定理方法三

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O於D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其餘兩個等式。

用向量叉乘表示面積則 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB

=> absinC = bcsinA (這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=> a/sinA = c/sinC

2015-7-18 17:16 jinren92 | 三級

記向量i ，使i垂直於AC於C，△ABC三邊AB,BC,接着得到正弦定理 其他步驟2. 在鋭角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC。

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