高中數學證明等比數列的常用方法

等比數列是一項公式，這項公式該怎麼被證明呢?下面就是學習啦小編給大家整理的等比數列的證明內容，希望大家喜歡。

　　數學等比數列的證明

數列an前n項和為Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 證明

(1)(Sn/n)是等比數列

(2) S(n+1)=4an

1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2

S1/1=A1=1

所以Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項的等比數列

所以Sn/n的通項公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那麼S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=[2n-(n-1)]*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^2

=(n+1)2^n/4

=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1個式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右邊是等差數列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+2

　　無窮遞減等比數列

a,aq,aq^2……aq^n

其中，n趨近於正無窮，q<1

注意：

(1)我們把|q|<1無窮等比數列稱為無窮遞縮等比數列，它的前n項和的極限才存在，當|q|≥1無窮等比數列它的前n項和的極限是不存在的。

(2)S是表示無窮等比數列的所有項的.和，這種無限個項的和與有限個項的和從意義上來説是不一樣的，S是前n項和Sn當n→∞的極限，即S=

S=a/(1-q)

算法

想了解無窮遞減等比數列求和的算法，需要先介紹一下等比數列求和公式

設一個等比數列的首項是a1,公比是q，數列前n項和是Sn，當公比不為1時

Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)

將這個式子兩邊同時乘以公比q，得

qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n

兩式相減，得

(1-q)Sn=a1-a1q^n

所以，當公比不為1時，等比數列的求和公式為Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

對於一個無窮遞減數列，數列的公比小於1,當上式得n趨向於正無窮大時，分子括號中的值趨近於1，取極限即得無窮遞減數列求和公式

S=a/(1-q)

　　高中數學必修5等比數列知識點總結

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