關於兩個重要極限分析

兩個重要極限是很重要的知識點，關於這個的知識點要怎麼證明呢?證明的過程是怎樣的呢?下面就是本站小編給大家整理的兩個重要極限的證明內容，希望大家喜歡。

　　兩個重要極限教案

教學目的：1 使學生掌握極限存在的兩個準則;並會利用它們求極限;

2使學生掌握利用兩個重要極限求極限的方法;

教學重點：利用兩個重要極限求極限

教學過程：

一、講授新課：

準則I：如果數列 滿足下列條件：

(i)對 ;

(ii) 那麼，數列 的極限存在，且 。

證明：因為 ，所以對 ，當 時，有 ，即

，對 ，當 時，有 ，即 ，又因為 ，所以當 時，有 ，

即有： ，即 ，所以 。

準則I′如果函數 滿足下列條件：

(i)當 時，有 。

(ii)當 時，有 。

那麼當 時， 的極限存在，且等於 。

第一個重要極限：

作為準則I′的應用，下面將證明第一個重要極限： 。

證明：作單位圓，如下圖：

設 為圓心角 ，並設 見圖不難發現： ，即： ，即 ，

(因為 ，所以上不等式不改變方向)

當 改變符號時， 及1的值均不變，故對滿足 的一切

　　兩個重要極限的介紹

第一個重要極限

如果數列 滿足： ，就稱之為單調增加數列;若滿足： ，就稱之為單調減少數列;同理亦有嚴格單增或單減，以上通稱為單減數列和嚴格單減數列。

如果 ，使得： ，就稱數列 為有上界;若 ，使得： ，就稱 有下界。

準則Ⅱ′：單調上升，且有上界的數列必有極限。

準則Ⅱ″: 單調下降，且有下界的數列必有極限。

注1：由前已知，有界數列未必有極限，若加單調性，就有極限。

2：準則Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推廣到函數情形中去，在此不一一陳述了。

第二個重要極限：

作為準則Ⅱ的一個應用，下面來證明極限 是不存在的。

先考慮 取正整數時的情形： 對於 ，有不等式： ，即： ，

即： (i)現令 ，顯然 ，因為 將其代入，所以 ，所以 為單調數列。

(ii)又令 ， 所以 ，

即對 ， 又對 所以{ }是有界的。

由準則Ⅱ或Ⅱ′知 存在，並使用 來表示，即

注 1：關於此極限存在性的證明，書上有不同的方法，希望同學自己看!

2：我們可證明： ，具體在此不證明了，書上也有，由證明過程知： 。

3：指數函數 及自然對數 中的'底就是這個常數 。

　　挑戰極限的勵志名言

1. 命運給予我們的不是失望之酒，而是機遇之杯。因此，讓我們毫不畏懼、充滿歡愉地把握命運。——尼克松

2. 習慣形成性格，性格決定命運。——約?凱恩斯

3. 凡是追逐不靠自身而依賴外界才能獲得的幸福的人，命運總是和他作對。——莫羅阿

4. 沒有準備向命運抗爭，命運便會顯示其威力。——馬基雅弗利

5. 每個人都是自己命運的建築師。——克勞狄烏斯

6. 生命的樂趣是要自己尋找的，誰也沒有義務要為你做什麼，要討好你什麼。愛情很美好，但是，生活永遠比愛情要長，而生活，是需要智慧。樂觀，陽光，凡事往好處想。

7. 人生短短數十載，最要緊是證明自己，不是討好他人。

8. 浪漫是一種自我修養，是生活的格調。不管什麼年齡，總要保持一種浪漫情懷。

9. 幸福不是因為得到的多，而是計較的少。苦苦追求沒有得到的，不懂得珍惜擁有的，結果只是徒勞傷命。

10. 有得有失，才是人生，切忌忿忿不平。做人最忌無休止地自怨自艾，招人討嫌。愛自己，就如同朝陽升起。

11. 失去的東西，其實從來未曾真正地屬於你，也不必惋惜。瀟灑一點。生活中無論有什麼閃失，從錯處學習改過，精益求精，直至不犯同一錯誤，從不把過失推諉到他人肩膀上去。讓自己更平和一點，更豁達一點，對於身邊的過錯，讓自己更寬容一點。人人都有他的難處，何必強求於人。

12. 壞事總是不斷髮生，可還是有很多辦法來解決困難。

13. 永遠不要忘記進修學問，拓闊胸襟。人生的煩惱會追隨你，只不過學識涵養可以使一個人更加理智冷靜地分析處理這些難題而已。

14. 當命運遞給我一個酸的檸檬時，讓我們設法把它製造成甜的檸檬汁。——雨果

15. 對於凌駕命運之上的人來説，信心是命運的主宰。——海倫·凱勒

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