數學題目思想方法大全
數學習題浩瀚無邊,問題又可變式發散,這樣習題就林林總總,題量就千千萬萬,但是藴涵在問題中的數學思想方法總是永恆不變的,它是數學的精髓,是解決問題的有效手段,是制勝的法寶,以下就本學期有關的數學思想方法做一個簡單的闡述.
一、化歸思想
“化歸”就是將未知的問題轉化成我們已經解決的問題,將複雜的問題轉化成簡單的問題,也就是將 “未知”的問題“已知化”,“複雜”的問題“簡單化”.化歸思想是解決問題的常見思想方法.
【例1】△ABC為等邊三角形,三邊的長均已在圖中標出,求的值.
分析:因為△ABC為等邊三角形,故AB=BC=CA,所以2x-8=x+6=3y+2,稍加組合可得2x-8=x+6,可以求出x的值,然後回代又可求出y的值.
解:因為△ABC為等邊三角形,故AB=BC=CA,所以2x-8=x+6=3y+2,
又因為2x-8=x+6,解得,x=14,將x=14代入x+6=3y+2,
解得,y=6,將x=14 y=6代入下式:
=.
點評:本題利用“化歸”的思想,將三角形的三邊的長轉化成一元一次方程,此處應注意的是方程的組合,不同的組合可能得到的是二元一次方程組,從而加大了計算量和解答難度.
二、分類討論思想
有時將問題看成一個整體時,則無從下手,若分而治之,各個擊破,則能柳暗花明,分類討論正是這一種思想,也是一種重要是數學思想方法,為了解決問題,將問題説涉及的是對象不遺漏地分成若干類問題,然後逐一解決,從而最終解決整個問題的目的'.
【例2】(五城市聯賽題)若ab>0,求的值.
分析:因為ab>0,則a>0,b>0或a<0,b<0,於是將問題分成兩種情況進行討論,不難得到結果.
解:因為ab>0,則a>0,b>0或a<0,b<0,
①
當a>0,b>0時,,,
==1+1-1=1.
②
當a<0,b<0時,,,
==-1-1-1=-3.
故當ab>0, =1或-3.
點評:在分類討論時,應注意不遺漏地將問題所涉級的各種情況作出討論,最後應總結各種討論的結果.
三、整體思想
與分解,分步處理問題相反,整體思想是將問題看成一個完整的整體,從大處着眼,由整體入手,突出對問題的整體結構的分析和改造,把一些彼此孤立實際上緊密聯繫的量作為整體考慮.在整體思想中,往往能夠找到問題的捷徑.
【例3】已知,求的值.
分析:若將問題中的x看成一個未知數,將其求出,然後代入後式中求值,顯然計算複雜繁瑣,計算量偏大,但將看成一個整體,通過通分得到,繼而看作整體,求其倒數得到,對比聯想,容易找到解決問題的思路.
解:因為 ,
則
所以
,則,
所以 ,
將 代入==2000.
點評:本題若不運用整體的思想方法解題,則計算複雜繁瑣,而整體思想的運用,化難為易,整體思想是一種技巧,也是一種重要的思想方法.
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