和與差的整除性奧數知識

我們知道，2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整數.如果在這些數之間作和運算或差運算：

2+4=6，4+6=10，6+8=14，

2+6=8，4+8=12，6+10=16，

2+8=10，4+10=14，…………

2+10=12，…………

…………

2+4+6=12，

2+4+6+8=20，

2+4+6+8+10=30，

…………

4-2=2，6-4=2，8-6=2，

6-2=4，8-4=4，10-6=4，

8-2=6，10-4=6，…………

10-2=8，

…………

我們發現，它們之間的和或差也都能被2整除.因此，我們有理由猜想：能被2整除的數之間的和或差也能被2整除.

我們還知道，3、6、9、12、15、……都是能被3整除的數.如果在這些數之間作和運算或者差運算：

3+6=9，6+9=15，9+12=21，

3+9=12，6+12=18，9+15=24，

3+12=15，6+15=21，………

3+15=18，…………

………

3+6+9=18，

3+6+9+12=30，

3+6+9+12+18=48，

………

6-3=3，9-6=3，12-9=3，

9-3=6，12-6=6，15-9=6，

12-3=9，15-6=9，………

15-3=12，………

………

這些運算的結果也都能被3整除.因此，我們又有理由猜想：能被3整除的數之間的和或差也能被3整除.

有了前面的兩點猜想，我們似乎可以作更大膽的.猜想：如果有一些數能被某個數整除，那麼，這些數之間的和或差也一定能被某個數整除.

令人不放心的是，關於這個猜想，我們還僅只是考察了“某數”是2和3的部分情形.是不是對所有的情形都正確呢?解決這個問題的辦法有兩個：一是再接着逐個去驗證考察。但這是一件永遠也辦不完的麻煩事情!另一個辦法是用符號(這個發明用符號來表達數學關係的前輩確實是一個偉大的天才!)表示出“猜想”中的數學關係，然後，去想方設法説清它正確的道理.親愛的讀者，你能完成這項工作嗎?

　　【規律】

如果有整數A、B、C、……都能被整數m整除，那麼，就有A±B±C±……

的結果也能被m整除.

事實上，整數A、B、C、……都能被整數m整除，那麼，這些整數就可以分別寫成m的倍數形式：

A=a?m，B=b?m，C=c?m，……

(其中a、b、c仍為整數).這樣

A±B±C±……

=a?m±b?m±c?m±……

=(a±b±c±……)?m.

顯然，後面的結果是m的倍數，能被m整除.這就説明了原式

A±B±C±……

也能被m整除.猜想是正確的.

【練習】

運用上面的規律你能判斷出下面哪些算式的得數能被2、3或5整除.

(1)123456789×1991+987654321;

(2)987654321×1992-123456789;

(3)2+4+6+……+1998+2000;

(4)5000-4998+4996-4994+……+4-2;

(5)1×2+3×4+5×6+……+99×100;

(6)1×2×3+4×5×6+7×8×9+……+97×98×99;

(7)1×2×3×4×5+6×7×8×9×10+11×12×13×14×15+……+96×97×98×99×100;

(8)19921+19922+19923+……+19922000.