怎麼證明餘弦定理
證明餘弦定理:
因為過C作CD垂直於AB,AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。
又因為b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2,所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2,
所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2,
所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2,
所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA,
所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
2
在任意△ABC中, 作AD⊥BC.
∠C對邊為c,∠B對邊為b,∠A對邊為a -->
BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
勾股定理可知:
AC²=AD²+DC²
b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²
b²=sin²B*c²+a²+cos²B*c²-2ac*cosB
b²=(sin²B+cos²B)*c²-2ac*cosB+a²
b²=c²+a²-2ac*cosB
所以,cosB=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖,在ABC中,三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c . 以A為原點,AC所在的直線為x軸建立直角座標系,於是C點座標是(b,0),由三角函數的定義得B點座標是(ccosA,csinA) . ∴CB = (ccosA-b,csinA). 現將CB平移到起點為原點A,則AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ,∠DAC = π-∠BCA = π-C , 根據三角函數的定義知D點座標是 (acos(π-C),asin(π-C)) 即 D點座標是(-acosC,asinC), ∴ AD = (-acosC,asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC,asinC) = (ccosA-b,csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ,同理可證 asinA = bsinB , ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ,平方得: a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A , 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB , c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]
mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得,4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達式:
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
得,4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達式:
ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
【擴展閲讀篇】
用文字記載一個星期來的自己的思想、學習、生活情況的文字記錄。
它有別於“流水賬”,日記,在於流水賬是有什麼就記錄什麼,不需要作任何修飾和認識的昇華,而且內容不限,一週之內可以記錄您每一天的任何事情。而週記就是:每週一次,並且對自己的生活學習思想認識有一定的昇華。 週記是對個人和某個團體一週的所見、所聞、所思、所感、所惑、所獲的記錄。還可以寫一件在這一週裏讓你有所感觸的事。
編輯本段作用
從學生角度來説,週記用來了解學生的思想動態,學習情況,答疑解惑,並通過週記的形式而置一些跟教育主題有關的主題作文,提高學生的認識,從而在全班範圍內形成正確、積極、健康的輿論環境,併為主題班會準備材料,提高同學們參與的積極性。
從老師的角度來説,週記用來回顧一週的得失,提出經驗教訓,讓班主任對班上情況有一個更加詳細和全面的瞭解,提高工作的針對性和準確性。老師除了用來了解同學一週發生的事情外,還用來鍛鍊同學的文章水平,使同學文章水平得以提高。
編輯本段格式
週記的題目(寫作範圍:讀後感;見聞;趣事;數學週記......)
1.記事
2.自評(優,缺)
3.解決措施
4.下週計劃
5.自己的所見所聞所感
其實週記並沒有一種標準的格式,只需要同學們每週把自己的所看到的、聽到的、想到的、經歷的東西記下來,形成的文字片斷或一篇文章,一週寫一則就可以了。
編輯本段怎麼寫週記
不少同學又開始問了,週記怎麼寫?國小國中週記開頭怎麼寫?
如果是一個片斷,將事情寫清、將要表達的意思表達完整就行了,當然,時間充裕,你可以將前因後果,你的想法補充完整,形成一篇文章。不論無論,週記沒有什麼特殊規定的格式,跟我們平時説話寫文章一樣,要求就是條理清楚地説清一件事、一個想法。
週記的關鍵是要真,真事、真情、真想,不要虛構。用力表達你正經歷的、正思考的事,對提高你的寫作能力是有幫助的,不要當作負擔,也不要覺得有任何壓力,因為真的,只要排列一下就行了。
同時,週記交給老師後,也可讓老師來了解你的生活、你的想法,或許對你有幫助。
去年也談過週記怎麼寫,轉到下面,大家再看看。
老師佈置了週記作業,怎麼寫呢?許多同學發了愁。
其實週記也好,日記也好,都是要寫一段時間內印象最深的事。週記就是本星期內的事。
回想一下這個星期發生了什麼,在學習上有什麼問題,班級裏有什麼新鮮事,和朋友老師間關係如何,這些都可以寫,和日記相比周記可以寫的`內容更多了,需要突出一兩個重點。
如果大腦裏立刻就想起一二件事情,記憶深刻,那麼恭喜,你就有材料了,將它們的前因後果,事情經過,個人感想寫清楚吧。
有人會問:不好意思,一想到過去的幾天,我印象裏只記得吃了一次大餐,或者只記得被老師罵了一頓,或者跟同學鬧彆扭心裏不爽,這些都沒有重要意義,怎麼能寫呢?告訴你,既然你想到了,就説明是值得寫的。有意義的事情,不一定非得是意義重大,思想崇高,自己的生活瑣事,也是值得一寫的,只要你寫出你的感受。我們每天的日子不都是這些細小的沙子一樣的事情組成的嗎?這些沙子,串起了我們的歡笑,串起了我們的憂愁,串起了我們的無聊,引領着我們一天天,不知不覺地在長大。
更有一些同學説,這個周最無味,什麼也沒有發生,沒什麼可寫的。再想想,再想想,多個心眼,仔細觀察,你會找到的。
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