用向量怎麼證明推導正弦定理

正弦定理是一個不錯的數學定理，這該怎麼用向量來證明呢？下面就是本站小編給大家整理的用向量證明正弦定理內容，希望大家喜歡。

　　用向量證明正弦定理事例1

如圖1，△ABC為鋭角三角形，過點A作單位向量j垂直於向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　用向量證明正弦定理解答

記向量i ，使i垂直於AC於C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

在鋭角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O於D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的'圓周角相等,所以∠D等於∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其餘兩個等式。

用向量叉乘表示面積則 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB

=> absinC = bcsinA (這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=> a/sinA = c/sinC

2015-7-18 17:16 jinren92 | 三級

記向量i ，使i垂直於AC於C，△ABC三邊AB,BC,接着得到正弦定理 其他步驟2. 在鋭角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,

　　正弦定理定義

正弦定理(The Law of Sines)是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓半徑的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R為外接圓半徑)。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關係式。一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關係式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關係。

一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

1、在解三角形中，有以下的應用領域：

已知三角形的兩角與一邊，解三角形。

已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。

運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉換關係。

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