國中數學的教學設計理念

學生在數學學習中有一個現象：當解決數學某一問題遇到困難時，如果追根求源，就會發現，往往是由於他們在某一個或某一些概念處產生問題，而導致思維受阻。許多事例項證了正確地理解 數學概念是牢固掌握數學知識，靈活運用數學知識解決問題的金鑰匙。基於此，我們就要對數學概念的本質進行分析，並且希望找到合理的概念教學的模式，以使教師的教課與學生的數學學習輕鬆而有成效。

一、什麼是數學概念？

概念是反映客觀事物本質屬性的思維形式。數學概念，就是事物在數量關係和空間形式方面的本質屬性，是人們通過實踐，從數學所研究的物件的許多屬性中，抽出其本質屬性概括而形成的。它是進行數學推理、判斷的依據，是建立數學定理、法則、公式的基礎，也是形成數學思想方法的出發點。

可見，數學概念是學生必須掌握的重要基礎知識之一，是數學基本技能的形成與提高的必要條件，也是數學教學的重點內容。 為什麼學生對數學概念的理解總是停留在表層，往往知其然，並不知其所以然？教學中如何進行有效地概念教學，以使學生真正的理解概念？這是每名教師都在思考的問題。

二、 目前概念教學的現狀

數學概念具有抽象性、發展性、生成性等特點，它的特點以及國中學生認知的思維水平的限制性，決定了他們在學習過程中，會對一些抽象的、不常接觸的概念不容易理解，需要教師進行合理的教學設計，使學生能夠參與到概念的發生與形成過程中，瞭解概念的來龍去脈，理解概念的內涵與外延，弄清概念之間的區別與聯絡，在頭腦中形成相關概念的網路，以達到掌握並靈活運用的程度。對於概念教學這個問題，在新課程實施以來，廣大教師都有了一定的認識，加強了對概念教學的重視程度。但由於各種各樣的原因，事實上，大部分教師只是停留在思想的層面上，而行動上仍然是傳統的教學模式。

案例 1 ：前不久聽一位教師關於“平方根”的概念教學課，上課開始，教師呈現一組面積不同的正方形，要求學生求邊長 x 。

這組題對於八年級的學生來講，能夠很快的得到答案。由於邊長都非負，所以學生的第一反應說出的都是這組數的算術平方根，因為教師設計要講平方根，所以要求學生寫出計算過程，並強調平方根的定義：即 ，然後取正舍負，再由這四個例子進行抽象概括出平方根與算數時，我們把 叫做 的平方根，其中正值又叫做 的算術平方根。接下來就是根據定義求一些非負數的平方根與算術平方根的題組訓練。表面上看，教師似乎讓學生經歷了從特殊到一般的抽象概括的過程，但實質上，教師的設計只是形式化的，並沒有使學生真正的參與到平方根的發生與形成過程中，沒有使學生真正弄清楚為什麼 叫做 的平方根，所以可以想到學生只是機械的接受概念，在此基礎上照貓畫虎式進行解題練習，這種做法一定會造成學生後期將平方根與算術平方根混淆。

案例 2：關於“同類項”的教學：

教師往往採用如下引入：

下面各式有何共同特點，請用簡潔的語言敘述：

（ 1） ；

（ 2） ,而後師生共同歸納出同類項的概念。

這樣的教學只是揭示了“同類項是什麼”，而沒有揭示“為什麼提出同類項的概念，為什麼教學中這樣定義同類項概念”。這裡涉及到科學分類的問題，分類是自然科學中的基本邏輯方法，通常是根據所研究的具體問題，選取恰當的標準，然後根據物件的屬性，把他們不重不漏地劃為若干類別，再分別加以研究，從某種程度上說，概念是對客觀事物按照某種需要進行分類的產物，僅僅以事實為基礎形成的概念難以遷移。

案例 3：“矩形”概念的教學：

首先採用合作學習：用 6根火柴棒首尾順次相接擺成一個平行四邊形。

議一議：（1）能擺成多少個不同的平行四邊形？他們有什麼特點？

（2）在這些平行四邊形中，有沒有面積最大的一個平行四邊形？說出你的理由。 （學生分組討論）

生 1：我們這組認為，可以擺成無數個平行四邊形，他們的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。

師：這些特點都是平行四邊形的性質，鄰邊有什麼特點嗎？

生 1： (猶豫 )鄰邊不相等，其比值始終是 2： 1.

生 2：有一個面積最大的平行四邊形，即長方形，因為平行四邊形的面積等於底邊乘以高，如果擺成長方形，高與平行四邊形的一邊相等，這樣面積才是最大的。（眾生疑惑）

師：你能說一下這個平行四邊形一個內角的特點嗎？

生 2：每個角都是直角。

師：實際上，平行四邊形有一個內角是直角，我們把這樣的平行四邊形就叫做矩形。 生 (譁然）：這不是國小的長方形嗎？

教師在學生的疑惑聲中，畫出圖形，板書課題及矩形定義。

在這個案例中，教師創設情境，採用小組合作學習的形式，通過“平行四邊形什麼時候面積最大”的問題引導學生動手操作，從而引入矩形的定義，卻沒有取得很好的教學效果： 1.很多學生對“當平行四邊形是矩形時，面積最大”的知識沒有真正理解，實質上這個問題是平行四邊形面積與垂線段性質兩方面知識的綜合，它與矩形的定義沒有多大關係； 2.矩形的邊沒有特殊性，但教師卻要求學生說出鄰邊之比 2： 1，這無意中強調矩形鄰邊的不等性，使得在生成矩形概念時，學生錯誤的.認為，矩形就是長方形； 3.這樣的問題設計很難在學生頭腦中形成“矩形是平行四邊形一個內角的特殊化”的概念。

教材把“矩形”安排在平行四邊形之後，就是因為它是特殊的平行四邊形，因此完全可以用概念同化的方法進行矩形概念的教學，這與以前學過的平行四邊形和將要學習的菱形、正方形在研究思路、方法上一脈相承，這樣的設計充分尊重學生的實際情況，可以使學生在獲得知識的同時，培養其類比思維的能力。儘管新課程倡導動手操作、自主探究、合作交流的學習方式，但更應該根據具體的教學內容和學生的已有知識經驗為基礎制訂教學策略，應該以有利於學生知識的獲得、數學活動經驗的積累和數學思想的領悟為標準。

在我們的日常教學中，類似於以上的概念教學並不是少數，我們將目前部分教師的概念教學模式進行簡單的歸納，可以分為以下幾類：

（一）開門見山，教師直接給出定義，歸納注意事項、舉例讓學生反覆練習；

（二）認為概念教學 = 解題教學，所以通過大容量訓練，使學生逐步認識概念；

（三）創設情境，但情境的選擇並不能揭示概念的本質，只是為了設計情境而刻意安排的，讓人感到前後不夠協調；

（四）注意到讓學生參與概念的形成過程，但在概念的分析過程中，缺乏與學生已有知

識的聯絡，總感覺每個概念都是孤零零的，沒有形成系統。

這些模式的教學，其效果往往事倍功半，耗費學生大量的時間與精力，但知識掌握的一知半解，吃夾生飯，對問題的解決，依靠簡單的機械模仿，所有的訓練都遊離在知識的表層甚至知識之外。長此以往，必將使學生成為並不優秀的“做題機器”，數學雙基也無法落實。鑑於此，反思我們的概念教學就顯得尤為重要，到底什麼樣的概念教學模式可以稱之為好的，有效的教學模式是什麼呢？我認為應該沒有統一的模式，教學有法、教無定法，只要教師能重視基本概念蘊含的智力開發價值，注意充分挖掘基本概念蘊含的數學思想方法的教育價值，能夠使學生掌握知識、發展能力的概念教學都是有效的、好的教學。

三、國中數學課堂概念教學的一些想法

從教育與發展心理學的角度出發，概念教學的核心就是“概括”：將凝結在數學概念中的數學家的思維活動開啟，以若干典型事例為載體，引導學生分析各事例的屬性、抽象概括其共同的本質屬性，歸納得出數學概念等思維活動而獲得概念。數學概念要講背景、講思想、講應用，概念教學則強調讓學生經歷概念的概括過程，由於數學能力是以數學概括為基礎的能力，因此重視數學概括過程對發展學生的數學能力具有基本的重要性。

概念的課堂教學大致經歷以下幾個環節：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相關概念的聯絡與區別、概念應用舉例、概念的鞏固練習。下面結合例項就其中關鍵環節談談在設計時的注意事項。

（一）概念的引入

概念的引入是概念課教學的起始步驟，是形成概念的基礎。傳統教學中在教學方式上是以教師傳授為主，學生被動接受學習，這顯然不利於新課程背景下創造型人才的培養。課程標準中提出“ 抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式”。通過概念引入過程的教學，應該使學生明確：“概念在生活中的實際背景是什麼？”“為什麼引入這一概念”以及“將如何建立這一概念”，從而使學生明確活動目的，激發學習興趣，提取有關知識，為建立概念的複雜智力活動做好心理準備。在引入過程中教師要積極地為學生創設有利於他們理解數學概念的各種情境，給學生提供廣闊的思維空間，讓他們逐漸養成主動探究的習慣，從而實現新課程標準中提出的通過主動探究來獲取知識，使學生的學習活動不再單純地依賴於教師的講授，教師努力成為學習的參與者、協作者、促進者和組織者。

我認為在概念課的引入上，要樹立起讓學生自己去發現的觀念，如果能讓學生產生認知衝突，對學習新概念的必要性產生需求，並主動發現新概念是最佳途徑。這樣學生們在運用概念時不但“知其然”也“知其所以然”，同時還能培養他們的探究精神，激發學生的潛能。所以對於情境的設計，要結合概念的特點恰當地選取，特點不同，引入形式也就會存在差異：我們提倡藉助生動、豐富的實際問題引入概念，能夠與學生的生活密切結合，這樣往往比較具體、形象，學生容易理解，也比較容易從中提煉出概念的本質屬性，比如數與代數中的同類項、分式等，空間與圖形中的角、平行線、三角形等；但並非所有的數學概念都適宜用這種方法，比如前面提到的平方根，我認為從數學內部的運算關係角度入手，更容易理解（後面會具體分析）。下面介紹概念引入的三種想法：

1. 聯絡概念的現實原理引入新概念。在教學中引導學生觀察有關實物、模型、圖示等，讓學生在感性認識的基礎上，建立概念，理解概念的實際內容，搞清楚這些概念是從什麼問題上提出來的。例如：在平面幾何平行線的教學中，可以讓學生觀察單線練習本中的一組平行線，分析這組線的位置特點，再利用相交線作對比，然後概括出平行線的定義；在圓的概念的教學時，讓學生動手做實驗，取一條定長的細繩，把它的一端固定，另一端栓一支鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是什麼？學生通過動手實踐，觀察所畫出來的圖形，歸納總結出圓的定義。

2. 從具體到抽象引入新概念。數學概念有具體性和抽象性雙重特性。在教學中就可以從它具體性的一面入手，使學生形成抽象的數學概念。例如：在講線線垂直的概念時，先讓學生觀察教室或生活中的各種例項，再模擬出線線垂直的模型，抽象出其本質特徵，概括出線線垂直的定義，並畫出直觀圖，即沿著例項、模型、圖形直至想像的順序抽象成正確的概念，再比如對於一元一次方程的概念，可以藉助一些簡單的例項，讓學生列方程，然後觀察這些具體方程的共同點，從具體到抽象歸納概括出一元一次方程的定義。

案例 4 ：對於“用字母表示數”的教學，教師展示熟悉的生活例項，確立了一個學生熟悉的認知物件，由學生熟悉的鋪地用的各種形狀、各種顏色的地磚鋪地時的圖案入手。

提出問題 1 ：觀察圖案 1 至 4 ，用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時黒磚塊數與圖案序號之間的數量關係是什麼？

學生答案是：圖案中的黒磚塊數與圖案的序號相等。

提出問題 2 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時的鋪法不變，請問第五個、第六個圖案中黑磚塊數是多少？與圖案序號之間的關係是什麼？理由是什麼？