實數基本定理及閉區間上連續函數性質證明

§1. 關於實數的基本定理

一 子列 定義1 在數列 EMBED 4 中，保持原來次序自左至右任一選區無限多項，構成新的數列，就稱為 EMBED 4 的子列，記為 EMBED 4 。 子列的極限和原數列的極限的關係

定理1 EMBED 4 若 EMBED 4 ，則 EMBED 4 的任何子列 EMBED 4 都收斂，並且它的極限也等於 EMBED 4 。

注：該定理可用來判別 EMBED 4 不收斂。 例：證明 EMBED 4 不收斂。

推論：若對任何 EMBED 4 ： EMBED 4 都有 EMBED 4 收斂，則 EMBED 4 在 EMBED 4 的極限存在。

二 上確界和下確界 上確界的定義，下確界的定義

定理2 非空有上界數集必有上確界;非空有下界數集必有下確界。

定理3 單調有界數列必收斂.

三 區間套定理 區間套: 設 EMBED 4 是一閉區間序列. 若滿足條件

ⅰ> 對 EMBED 4 , 有 EMBED 4 EMBED 4 EMBED 4 ;

ⅱ> EMBED 4 EMBED 4 .

則稱該閉區間序列為為區間套 .

注：區間套是指一個 “閉、縮、套” 區間列.( 都不是).

例： EMBED 4 和 EMBED 4 都是區間套.但 EMBED 4

定理4設 EMBED 4 是一閉區間套. 則存在唯一的點 EMBED 4 屬於所有的'區間。

注：區間套中的任何一個條件去掉，定理一般將不成立。

四 緻密性定理

定理5 任一有界數列必有收斂子列。

推論 若 EMBED 4 是一個無界數列，則存在子列 EMBED 4 。

五 Cauchy收斂原理

定理6 數列 EMBED 4 收斂 EMBED 4 EMBED 4 當 EMBED 4 時，有 EMBED 4 。

注：定理可通過數列本身來判別它收斂還是發散。

例：設 EMBED 4 ，證明 EMBED 4 發散。

例：設 EMBED 4 ，證明 EMBED 4 收斂。

六 有限覆蓋定理 覆蓋: 先介紹區間族 EMBED 4 .

定義 (覆蓋 )：設 EMBED 4 是一個數集, EMBED 4 是區間族.若對 EMBED 4 使得 EMBED 4 , 則稱區間族 EMBED 4 覆蓋了 EMBED 4 , 或稱區間族 EMBED 4 是數集 EMBED 4 的一個覆蓋. 記為 EMBED 4 若每個 EMBED 4 都是開區間，則稱區間族 EMBED 4 是開區間族.開區間族常記為 EMBED 4 .

定義 (開復蓋 )：數集 EMBED 4 的一個開區間族覆蓋稱為 EMBED 4 的一個開復蓋,簡稱為 EMBED 4 的一個覆蓋.

子覆蓋、有限覆蓋、有限子覆蓋.

例： EMBED 4 覆蓋了區間 EMBED 4 , 但不能覆蓋 EMBED 4 。

定理7 閉區間 EMBED 4 的任一開復蓋必有有限子覆蓋。

注：在定理的條件中，若 EMBED 4 不是開區間集，或 EMBED 4 為非閉區間，則從 EMBED 4 中就不一定能選出有限個區間來覆蓋。

§2閉區間上連續函數性質的證明

一 有界性定理 定理1 閉區間 EMBED 4 上的連續函數必定有界。

注：開區間上的連續函數既可能有界，也可能無界。

二 最大值和最小值定理 定理2 閉區間 EMBED 4 上的連續函數必定有最大值和最小值。

三 零點存在定理 定理3 EMBED 4 在閉區間 EMBED 4 連續，且 EMBED 4 ，則 EMBED 4 在 EMBED 4 內至少有一個根。

證法一(用區間套定理); 證法二(用確界原理); 證法三 (用有限覆蓋定理)。

四 一致連續性定理 定理4 閉區間 EMBED 4 上的連續函數 EMBED 4 必定一致連續。

證法一 (用區間套定理); 證法二 (用緻密性定理)。

武夷學院經濟與數學系 《數學分析》 授課教案