高一數學知識點之冪函數的定義與性質

定義：

形如=x^a（a為常數）的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

定義域和值域：

當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的`所有實數；

如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：

在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。

在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

而只有a為正數，0才進入函數的值域

性質：

對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^（p/q）=q次根號（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞）。當指數n是負整數時，設a=-，則x=1/（x^），顯然x≠0，函數的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

排除了為0與負數兩種可能，即對於x>；0，則a可以是任意實數；

排除了為0這種可能，即對於x<；0和x>；0的所有實數，q不能是偶數；

排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。

總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數。