青島版數學多邊形面積的計算教材詳細分析

本單元教學平行四邊形、三角形和梯形的面積計算，這是在學生認識了這些圖形的特徵，掌握了面積的意義和長方形面積計算公式的基礎上安排的。全單元內容在編排上有四個特點。

第一，先教學平行四邊形的面積公式，然後以它為基礎教學三角形、梯形的面積公式。因為把三角形、梯形轉化成平行四邊形比較化成長方形簡便，從平行四邊形面積公式推理出三角形、梯形的面積公式比較容易。

第二，加強練習，突出知識的實際應用。為了使學生掌握平面圖形的面積計算方法，全單元安排了三個練習，分別鞏固平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，並在簡單的情境中應用這些公式解決實際問題。

第三，設計了全單元內容的整理與練習，除了知識的鞏固性練習和應用性練習外，突出了對知識的整理和結構的建立，並引導學生開展自我學習評價，小結自己在知識與技能的掌握方面、學習活動的開展方面、習慣與態度等情感方面的表現與收穫，力求把促進學生全面、持續、和諧的發展落到教學的實處。

第四，安排了一次實踐活動。在本單元結束時，利用已經掌握的五種平面圖形的面積公式，通過割、補等操作活動，對圖形進行分解與組合，計算稍複雜的不規則圖形的面積，從而提升對常用面積公式的掌握水平。

你知道嗎介紹了我國古代把一個三角形轉化成長方形，從而推導三角形面積計算方法的歷史記載。不僅弘揚中華民族的文明歷史，還讓學生體會轉化策略的具體應用是多樣而靈活的。在此基礎上，編排了第２５頁的思考題，讓有興趣的學生學習使用。

１．組織學生動手操作、合作交流，經歷探索麪積計算公式的過程。教材希望學生通過探索，理解並掌握三角形等圖形的面積公式。因為這些圖形的面積計算的教學價值，不只是知道幾個公式和進行求積計算，更在於通過這些內容的教學發展學生的形象思維和空間觀念，培養實踐能力和創新精神，積極參與數學學習活動的熱情和信心。研究並推導三角形等平面圖形面積公式的途徑是多樣的，教材選擇了把平行四邊形割補成長方形、把兩個完全相同的三角形（梯形）拼成平行四邊形等方法。這些方法與思路比較貼近學生已有的數學活動能力和思維發展水平，易於操作，適宜大多數學生應用。教材通過引導方向、提供條件、安排交流、組織思維這樣的線索支持和幫助學生探索。

（１）創設啟動學生探索的情境。研究新的數學問題，需要明確的方向和清晰的思路，這一點在教學中尤為重要。在教學平行四邊形面積時，第１２頁的兩道例題起幫助學生確立研究思路的作用。例１通過每組的兩個圖形面積相等嗎喚醒把圖形等積變換的思想方法一個複雜的圖形可以轉化成面積相等的、比較簡單的圖形，這是研究平行四邊形面積計算的策略。例２把一個平行四邊形轉化成長方形，為學生明確了探索活動的思路和方法。沿着平行四邊形的一條高把它剪成兩部分，是實現圖形有效轉化的關鍵。為此，教材一方面把平行四邊形置於方格紙上，便於學生沿着高剪。另一方面提出它們都是沿着什麼剪的這個問題，引導學生注意自己的剪法，交流各人的剪法，體會沿着高剪的必要性與合理性。在教學三角形面積時，第１５頁的例４用圖呈現了一個三角形的面積是它所在的平行四邊形面積的一半這個十分重要的數量關係。學生可以用數方格的方法，從每個三角形的面積各是幾個小方格，推出它的面積是多少平方釐米。也可以先通過底高算出每個平行四邊形的面積，再除以２算出每個三角形的面積。兩種方法結果相同，印證了兩種方法都是正確的。而後一種方法比前一種方法方便，避免了數方格時的一些麻煩。由此產生研究三角形面積計算的方向和思路：能否從平行四邊形面積算出三角形的面積？

（２）為學生提供操作的物質條件和方法指導。研究平行四邊形面積計算的問題，要把平行四邊形剪拼成長方形；研究三角形面積計算，要把兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形。這些研究活動都在相應的圖形上進行操作，教材第１２７頁有許多平行四邊形和三角形，第１２９頁有許多梯形，為學生開展操作活動提供需要的圖形。除了提供操作的圖形，教材還在以下三個方面對操作活動給予支持：一是告訴學生到哪裏去選取操作的材料。第１３頁例３和第１５頁例５都清楚地指出從第１２７頁選一個平行四邊形（或三角形）剪下來，第１９頁例６的操作材料是方格紙上的梯形。二是指導學生怎樣操作。在三道例題中分別有把平行四邊形轉化成長方形看看與（例題中）哪一個三角形可以拼成平行四邊形，拼一拼看看哪兩個梯形能拼成平行四邊形，拼一拼。三是指出通過操作應初步知道些什麼。如通過長方形的面積求出平行四邊形的面積；先求出平行四邊形面積，再求出每個三角形的面積；先求出平行四邊形面積，再求出每個梯形的面積。教材希望這些方法指導，使操作活動有序、有效地進行，為進一步的數學思考積累感性材料。

（３）在個體操作的基礎上安排合作學習。在三道研究圖形面積計算公式的例題中，每個學生都只進行了一次圖形的割補或移拼活動。同一小組的學生，在第１２３頁裏選擇了不同的平行四邊形和三角形，因此具有相互交流的需要與可能。通過交流，學生能知道，任何形狀的平行四邊形都可以轉化成長方形，只要是完全相同的兩個三角形都可以拼成一個平行四邊形。這樣，他們對圖形變換的認識不再是個案的體會，而是對圖形本質聯繫的體驗。這對形成圖形的面積公式是十分重要的一步，也體現了數學學習的嚴謹性與數學結論的確定性。在每道例題中都設計了一張表格，這是在交流後每名學生都要填寫的。表格的內容都是兩部分：一部分是轉化後的圖形的有關數據，如轉化成的長方形的長、寬與面積，拼成的平行四邊形的底、高與面積；另一部分是轉化前的圖形的有關數據，即原來平行四邊形的底、高與面積，原來一個三角形（梯形）的底、高與面積。把這兩部分內容設計在同一張表格裏，能引導學生從數量的角度，體會圖形轉化前後在長度與面積上的對應聯繫。表格裏先填轉化成的圖形的數據，後填轉化前的圖形的數據，出於兩點原因：一是學生通過操作，已經實現了圖形的轉化，新圖形的邊的長度可以用尺量得，面積能夠算得，完成表格的左半部分比較容易。二是原來圖形的面積是依據圖形的形狀變了、大小不變推導出來的，沒有轉化後的圖形的面積就得不到原來圖形的面積。至於原來圖形的底、高的長度，學生有條件通過推理得到。在填寫表格右半部分時，學生對轉化前後兩個圖形的聯繫有所理解。

（４）組織推理，建立數學模型。在教學面積公式的三道例題中，都設計了三個討論題，這些討論題的任務是組織起面積公式的推理活動。其中前兩個討論題是關於轉化前後兩個圖形的比較研究，歸納出兩者之間的內在聯繫，包括面積之間的聯繫以及線段間的對應聯繫。這些聯繫，學生在操作活動中已有初步感知，又通過填寫表格有了比較清楚的體會，通過討論，可以把具體現象上升為理性認識。第三個討論題是從轉化後圖形的面積計算得出原來圖形的面積計算，是對已有的面積公式進行等量替換得出新的面積公式。教材裏沒有寫出這樣的替換，把它留給學生進行。學生從中不僅認識了新的面積公式，而且在數學思考，特別是開展推理活動方面，將得到一次很好的鍛鍊。本單元教學的三個面積公式，既用文字表達，也用字母表達，都是具有普遍規律和應用價值的數學模型。公式的得出是建模的過程，只要學生經歷了探索公式的全過程，一定能理解和掌握這些公式。

２．在練習中加強對面積公式的體驗。

本單元結合面積公式的練習是比較充分的，配合每個面積公式各安排了一道試一試、少量的練一練以及一個練習。試一試是學生首次應用新學的面積公式解決簡單的實際問題，在練一練和練習中一般都有三方面的內容，一是加強對面積公式的理解，突出公式中最關鍵的成分，二是應用公式求圖形的面積，三是解決與面積計算有關的實際問題。這裏對第一方面的內容作一些説明。教材十分重視學生對面積公式的理解，在得出面積公式以後，仍然給學生許多機會，讓他們的體會逐步深刻。

第１４頁第１題在方格紙上畫兩個形狀不同的平行四邊形，可以有兩種思路。一種是畫出面積為１５平方釐米的平行四邊形（因為長方形的面積是１５平方釐米），這樣的平行四邊形可以是底５釐米、高３釐米，底３釐米、高５釐米應用這種思路能更熟悉平行四邊形的面積公式。另一種是畫出底５釐米、高３釐米而形狀不同的平行四邊形（因為長方形長５釐米、寬３釐米），這種思路能更好地認識平行四邊形與相應長方形的聯繫，又一次體會這兩種圖形面積公式的關係。

第１４頁第５題拉動細木條釘成的長方形框，它的周長始終不變，面積變得越來越小。原因是圖形變了，先是長方形變成平行四邊形，再是平行四邊形的高越來越短。學生從中區分平行四邊形的邊與高，體會到它的底雖然不變，由於高變小了，面積也小了。

第１６頁練一練、練習三第１題都是兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形或一個平行四邊形（長方形）分成兩個一樣的三角形，如果已知一個三角形的面積能求平行四邊形的面積或已知平行四邊形（長方形）的面積能求一個三角形的面積。這些題突出了等底等高的平行四邊形與三角形面積的關係，能減少學生求三角形面積忘記除以２的錯誤。練習三第１０題使學生進一步體會平行四邊形與三角形的關係，只要它們等底等高，無論三角形在平行四邊形的哪裏，它的面積總是平行四邊形的一半。

第１７頁第５題判斷方格紙上哪幾個三角形的面積是平行四邊形的一半。其中最左邊的那個三角形與平行四邊形的底都是３、高都是４；最右邊的那個三角形剛巧是底４、高３。平行四邊形的面積是３４，這兩個三角形的面積都是３４２。這樣，學生不僅作出了判斷，而且對三角形面積公式的理解更靈活了。

第１７頁第６題在方格紙上畫面積是９平方釐米的三角形，也有兩種思路。一種是根據底高２=９，假設底是２釐米，則高是９釐米；假設底是３釐米，則高是６釐米另一種思路是先畫出面積是１８平方釐米的平行四邊形（如２９、３６等），再把平行四邊形分成兩個相同的三角形，從中選取一個。兩種思路都能加深學生對三角形面積公式的體驗。

第２０頁練一練第１題，練習四第１、２題的設計都與前面相似，不再重述。３．整理與練習以及實踐活動《校園的綠化面積》的編寫，充分考慮了學生學習的需要，努力提高他們的學習水平。

國小高年級數學，教學的內容多了，可應用的範圍廣了。因此，及時整理學到的知識，經常調整認知結構；回顧學習過程，積累繼續學習的資源；聯繫實際，在日常生活中應用知識都是學生的學習需要。教材編寫全單元的整理與練習，安排實踐活動是從學生的實際需要考慮，滿足他們的需要，培養學習數學的能力。

先分析整理與練習。回顧與整理已經學過的面積計算公式，包括本單元教學的三個公式以及三年級（下冊）教學的長方形、正方形的面積公式。

這個欄目在編寫上有兩個特點：一是鼓勵學生自己整理，在回憶知識的時候，用適合自己的形式把全部知識理一理。教材中呈現了兩種整理形式，即列表整理和畫圖整理，前者理出了有什麼知識、是什麼知識，後者理出了面積公式間的關係。教學時要從學生的實際能力出發，對有條件的學生，應鼓勵他們自己整理，並加強交流，體會整理方法是多樣的，各種整理形式都有其特點。對有困難的學生，可以先看看教材中的整理，然後選一種形式自己也來理一理。二是突出對學習過程的回顧與學習策略的提煉。平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式的推導過程有什麼相同的地方這個問題引導學生回顧學習過程，通過尋找相同的地方提煉轉化策略，都是把新的圖形轉化成已能求面積的圖形，都是利用已有的面積公式推出新的面積公式。轉化策略支持了本單元中對面積計算公式的探索，還能廣泛應用於其他數學知識的學習和數學問題的解決。

練習與應用欄目有三個編寫特點：一是通過第１題、第４題的判斷與畫圖，繼續加強對各個面積公式的理解以及公式之間聯繫的體驗，如第１題裏的四個圖形的底相等、高也相等，長方形與平行四邊形面積相等，三角形、梯形的面積都是平行四邊形、長方形的'一半。所以三角形、梯形的面積公式裏都有２。二是以練習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算為主，帶着練習長方形、正方形的面積計算，幫助學生全面地掌握知識。三是在稍複雜的情境中解決與求面積有關的實際問題，如第３、７、８、９題。這些題比前面練習中的實際問題複雜，但更貼近實際生活，對學生更有吸引力和挑戰性。

探索與實踐欄目引導學生走出書本、走出教室、走進生活，尋找並解決與面積知識有關的實際問題。欄目裏設計的兩道題都富有教育、教學的價值。第１題求一堆鋼管的根數，學生最容易想到的方法是把各層的根數連加，還能應用加法運算律使連加計算簡便。教材引導學生從梯形面積的計算方法的角度體會自己的算法，進一步理解梯形的面積公式，獲得解決這個實際問題的技巧。第２題安排學生自行開展小型的實踐活動，把圖形的認識、測量長度的方法和計算面積的公式等多方面知識融為一體，對發展學生的數學意識是十分有益的。

評價與反思是教材新開闢的教學活動欄目，以這個欄目推動課堂教學評價的改革。教材中的這個欄目，引導學生實事求是地反思自己在學習過程中的表現和學習的收穫，對自己的學習作出主動、客觀、有積極意義的評價，從而促進更好地發展。這個欄目裏的內容有兩個顯著的特點：第一，知識與技能的習得是評價內容之一，但不是惟一。把參與學習活動的態度、能力和對數學活動的體會作為評價的重要方面，努力體現新課程倡導的動手實踐、自主探索、合作交流等學習方式。通過評價，使學生知道應該以什麼樣的態度學習數學。第二，盡力調動學生開展評價的積極性，以自我評價為主，配置有趣的評價表達方式，由學生根據自己的表現，能得幾顆星，就把幾顆星塗上顏色，從而清楚自己在學習時的表現以及以後應該怎樣做。

再分析實踐活動《校園的綠化面積》。編排這次實踐活動的目的是，進一步豐富學生學習、應用數學知識的思想方法，培養估計、測量等應用能力，發展學生的想像和創新精神。

在想想算算裏計算稍複雜的圖形的面積，這些圖形都可以分解成兩個基本的圖形，它的面積或是兩個基本圖形的面積之和，或是兩個基本圖形的面積之差。教材把分解與組合作為一種思想方法，通過計算不規則圖形的面積凸現出來。呈現華風國小校園裏的草坪的平面圖，由大卡通提問你準備怎樣算？在小組裏交流，引導教學把重心放在思想方法上。呈現了學生交流的場面，交流的內容也是解決問題的策略。對計算校園裏兩塊花圃的面積，也應該先讓學生説説自己的思路。在分別求出各個基本圖形的面積時，找到相關的長度數據是教學的難點，如從草坪圖分解出來的梯形的底和高，左邊花圃圖分解成的長方形的寬或長等，這些都需要聯繫圖形的特徵通過推理和計算才能得出，應該給學生適當的指點。

量量算算在校園裏找一塊合適的草坪或花圃，先估計，再測量計算面積。合適的意思是，形狀為已經學過的圖形，並且不太複雜，最好是平行四邊形、三角形或梯形的；面積不要過大，也不要過小，便於估計和測量；測量長度方便、安全。學生估計花圃或草坪的面積可能出現兩種思路：一種是憑藉頭腦中對１平方米的表象，直接估計面積大約是多少平方米；另一種是先估計有關的長度大約是多少米，再應用面積公式算出面積大約是多少平方米。兩種思路都是可以的。估計面積允許有較大的誤差，重要的是估計時的思考。實際測量計算面積所要的長度，由於學生還沒有學過小數，花圃、草坪的面積通常以平方米為單位，所以只要量得大約長几米就可以了。對於面積較小的花圃用平方分米作面積單位也是允許的。

畫畫算算裏為華風國小設計一個花圃，它的形狀、大小都是開放的，學生可以按自己的意願設計，把自己的個性特點、豐富的想像、創新意識充分地表現出來。在方格紙上進行設計，便於畫圖，也容易算出面積。