如何用逆向思維解答數學問題
一、數學概念的反問題
例1 若化簡|1-x|—|x-4|的結果為2x-5,求x的取值範圍。
分析:原式=|1-x|-|x-4|
根據題意,要化成:x-1-(4-x)=2x-5
從絕對值概念的反方向考慮,推出其條件是:
1-x≤0,且x-4≤0
∴x的取值範圍是:1≤x≤4
二、代數運算的逆過程
例2 有四個有理數:3,4-6,10,將這四個數進行加減乘除四則運算(每個數用且只用一次),使結果為24.請寫出一個符合要求的算式。
分析:不妨先設想3×8=24,再考慮怎樣從4,-6,10算出8,這樣就找到一個所求的算式:
3×(4-6 10)=24
類似的,還有:4-(-6×10)÷3;
10-(-6×3 4);3(10-4)-(-6)等。
例3 若關於x的不等式(a-1)x>a2-2的解集為x<2,求a的值。
分析:根據不等式性質3,從反方向進行分析,得:
a-1<0,且a2-2=2(a-1)
∴所求a值為a=0.
四、逆向分析分式方程的檢驗
例4 已知方程m(x 1)/(1-x2)=1有增根,求它的增根。
分析:這個分式方程的增根可能是x=1或x=-1
原方程去分母並整理,得x2 mx m-1=0
如果把x=1代入,能求出m=3;
如果把x=-1代入,則不能求出m;
∴m的值為3,原方程的'增根是x=1.
五、圖形變換的反問題
例5 △ABC中,AB<AC,一刀剪切後可以拼成等腰梯形,請確定剪切線。
分析:我們曾經把梯形剪切後拼成三角形,就是使梯形的一部分繞一條腰的中點旋轉180°,本題正好相反。由此得到啟發,再應用等腰梯形的性質,得到如下做法:
作AD⊥BC,垂足為D點,在BC上截取DE=BD,連結AE,則∠AEB=∠B.
過AC中點M作MP∥AE,交BC於P,MD就是所求的剪切線。剪下△MPC,可以拼成等腰梯形ABPQ.
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