考研數學高數考點的預測

極限的計算是高等數學重點難點，我們在複習的時候，一定要抓住重點。小編為大家精心準備了考研數學高數考點的預料，歡迎大家前來閲讀。

　　考研數學之高數考點預測：極限的計算

1、等價無窮小的轉化，(只能在乘除時候使用，但是不是説一定在加減時候不能用,前提是必須證明拆分後極限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價於Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時候還原成無窮小)。

2、洛必達法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)。首先他的使用有嚴格的使用前提!必須是X趨近而不是N趨近!(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件(還有一點數列極限的n當然是趨近於正無窮的，不可能是負無窮!)必須是函數的導數要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導，直接用，無疑於找死!!)必須是0比0無窮大比無窮大!當然還要注意分母不能為0。洛必達法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時候直接用;0乘以無窮，無窮減去無窮(應為無窮大於無窮小成倒數的關係)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之後這樣就能變成第一種的形式了;0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方。對於(指數冪數)方程方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什麼只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近於無窮時候他的冪移下來趨近於0，當他的冪移下來趨近於無窮的時候，LNX趨近於0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的時候,尤其是含有正餘弦的加減的時候要特變注意!)E的x展開sina，展開cosa,展開ln1+x,對題目簡化有很好幫助。

4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法,取大頭原則最大項除分子分母!!!看上去複雜,處理很簡單!

5、無窮小於有界函數的處理辦法,面對複雜函數時候,尤其是正餘弦的複雜函數與其他函數相乘的時候,一定要注意這個方法。面對非常複雜的函數，可能只需要知道它的範圍結果就出來了!

6、夾逼定理(主要對付的是數列極限!)這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7、等比等差數列公式應用(對付數列極限)(q絕對值符號要小於1)。

8、各項的拆分相加(來消掉中間的大多數)(對付的還是數列極限)可以使用待定係數法來拆分化簡函數。

9、求左右極限的方式(對付數列極限)例如知道Xn與Xn+1的關係，已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時一樣的，因為極限去掉有限項目極限值不變化。

10、兩個重要極限的應用。這兩個很重要!對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大，無窮小都有對有對應的形式(第2個實際上是用於函數是1的無窮的形式)(當底數是1的時候要特別注意可能是用地兩個重要極限)

11、還有個方法，非常方便的方法,就是當趨近於無窮大時候,不同函數趨近於無窮的速度是不一樣的!x的x次方快於x!快於指數函數，快於冪數函數，快於對數函數(畫圖也能看出速率的快慢)!!當x趨近無窮的時候，他們的比值的極限一眼就能看出來了。

12、換元法是一種技巧,不會對單一道題目而言就只需要換元，而是換元會夾雜其中。

13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的。

14、還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法，走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15、單調有界的性質，對付遞推數列時候使用證明單調性!

16、直接使用求導數的定義來求極限，(一般都是x趨近於0時候，在分子上f(x加減某個值)加減f(x)的形式,看見了要特別注意)(當題目中告訴你F(0)=0時候f(0)導數=0的時候，就是暗示你一定要用導數定義!

函數是表皮,函數的性質也體現在積分微分中。例如他的奇偶性質他的週期性。還有複合函數的性質：

1、奇偶性，奇函數關於原點對稱偶函數關於軸對稱偶函數左右2邊的圖形一樣(奇函數相加為0);

2、週期性也可用在導數中在定積分中也有應用定積分中的函數是周期函數積分的週期和他的一致;

3、複合函數之間是自變量與應變量互換的關係;

4、還有個單調性。(再求0點的時候可能用到這個性質!(可以導的函數的單調性和他的導數正負相關):o再就是總結一下間斷點的問題(應為一般函數都是連續的所以間斷點是對於間斷函數而言的)間斷點分為第一類和第二類剪斷點。第一類是左右極限都存在的(左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者左右極限存在相等但是不等於函數在這點的值可取的間斷點;第二類間斷點是震盪間斷點或者是無窮極端點(這也説明極限即使不存在也有可能是有界的)。

　　考研數學易錯點分析

高等數學

1.函數在一點處極限存在，連續，可導，可微之間關係。對於一元函數函數連續是函數極限存在的充分條件。若函數在某點連續，則該函數在該點必有極限。若函數在某點不連續，則該函數在該點不一定無極限。若函數在某點可導，則函數在該點一定連續。但是如果函數不可導，不能推出函數在該點一定不連續，可導與可微等價。而對於二元函數，只能又可微推連續和可導(偏導都存在)，其餘都不成立。

2.基本初等函數與初等函數的連續性：基本初等函數在其定義域內是連續的，而初等函數在其定義區間上是連續的。

3.極值點，拐點。駐點與極值點的關係：在一元函數中，駐點可能是極值點，也可能不是極值點，而函數的極值點必是函數的駐點或導數不存在的點。注意極值點和拐點的定義一充、二充、和必要條件。

4.夾逼定理和用定積分定義求極限。這兩種方法都可以用來求和式極限，注意方法的選擇。還有夾逼定理的應用，特別是無窮小量與有界量之積仍是無窮小量。

5.可導是對定義域內的點而言的，處處可導則存在導函數，只要一個函數在定義域內某一點不可導，那麼就不存在導函數，即使該函數在其它各處均可導。

6.泰勒中值定理的應用，可用於計算極限以及證明。

7.比較積分的大小。定積分比較定理的應用(常用畫圖法)，多重積分的比較，特別注意第二類曲線積分，曲面積分不可直接比較大小。

8.抽象型的多元函數求導，反函數求導(高階)，參數方程的二階導，以及與變限積分函數結合的求導

9.廣義積分和級數的斂散性的判斷。

10.介值定理和零點定理的應用。關鍵在於觀察和變換所要證明等式的形式，構造輔助函數。

11.保號性。極限的性質中最重要的就是保號性，注意保號性的兩種形式以及成立的條件。

12.第二類曲線積分和第二類曲面積分。在求解的過程中一般會使用格林公式和高斯公式，大部分同學都會把精力關注在是否閉合，偏導是否連續上，而忘記了第三個條件——方向，要引起注意。

線性代數

1、行列式的計算。行列式直接考察的概率不高，但行列式是線代的工具，判定係數矩陣為方陣的線性方程組解的情況及特徵值的計算都會用到行列式的'計算，故要引起重視。

2、矩陣的變換。矩陣是線代的研究對象，線性方程組、特徵值與特徵向量、相似對角化，二次型，其實都是在研究矩陣。一定要注意在化階梯型時只能對矩陣做行變換，不可做列變換變換。

3、向量和秩。向量和秩比較抽象，也是線代學習的重點和難點，研究線性方程組解的情況其實就是在研究係數矩陣的秩，也是在研究把係數矩陣按列分塊得到的向量組的秩。

4、線性方程組的解。線性方程組是每年的必看知識點，要熟練掌握線性方程組解的結構問題，核心是理解基礎解系，要能夠掌握具體方程組的數列方法，更要能熟練解決抽象型方程組，一般會轉化為係數矩陣的秩或者基礎解，然後解決問題。

5、特徵值與特徵向量。特徵值與特徵向量起到承前啟後的作用，一特徵值對應的特徵向量其實就是其對應矩陣作為係數矩陣的齊次線性方程組的基礎解系，其重要應用就是相似對角化及正交相似對角化，是後面二次型的基礎。

6、相似對角化，包括相似對角化及正交相似對角化。要會判斷是否可以相似對角化，及正交相似對角化時，怎麼施密特正交化和單位化。

7、二次型。二次型是線代的一個綜合型章節，會用到前面的很多知識。要熟練掌握用正交變換化二次型為標準形，二次型正定的判定，及慣性指數。

8、矩陣等價及向量組等價的充要條件，矩陣等價，相似，合同的條件。

概率論與數理統計

1、非等可能與等可能。若一次隨機實驗中可能出現的結果有N個，且所有結果出現的可能性都相等，則每一個基本事件的概率都是1/N;若其中某個事件A包含的結果有M個，則事件A的概率為M/N。

2、互斥與對立對立一定互斥，但互斥不一定對立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B對立，則滿足(1)A∩B=空集;(2)P(A+B)=1。

3、互斥與獨立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B獨立，則P(AB)=P(A)P(B);概率為0或者1的事件與任何事件都獨立

4、排列與組合。排列與順序有關，組合與順序無關，同類相乘有序，不同類相乘無序。

5、不可能事件與概率為零的隨機事件。不可能事件的概率一定為零,但概率為零的隨機事件不一定是不可能事件，如連續型隨機變量在任何一點的概率都為0。

6、必然事件與概率為1的事件。必然事件的概率一定為1，但概率為1的隨機事件不一定是必然事件。對於一般情形，由P(A)=P(B)同樣不能推得隨機事件A等於隨機事件B。

7、條件概率。P(A|B)表示事件B發生條件下事件A發生的概率。若“B是A的子集”，則P(A|B)=1，但P(B|A)=P(B)是不對的，只有當P(A)=1時才成立。在求二維連續型隨機變量的條件概率密度函數時，一定是在邊緣概率密度函數大於零時，才可使用“條件=聯合/邊緣”;反過來用此公式求聯合概率密度函數時，也要保證邊緣概率密度函數大於零。

8、隨機變量概率密度函數。對於一維連續型隨機變量，用分佈函數法，先討論概率為0和1的區間，然後反解，再討論，最後求導。對於二維隨機變量，若是連續型和離散型，用全概率公式，若是連續型和連續型同樣用分佈函數法，若隨機變量是Z=X+Y型，用卷積公式。

　　考研數學衝刺高數證明題如何求證

☆題目篇☆

考試難題一般出現在高等數學，對高等數學一定要抓住重難點進行復習。高等數學題目中比較困難的是證明題，在整個高等數學，容易出證明題的地方如下：

▶數列極限的證明

數列極限的證明是數一、二的重點，特別是數二最近幾年考的非常頻繁，已經考過好幾次大的證明題，一般大題中涉及到數列極限的證明，用到的方法是單調有界準則。

▶微分中值定理的相關證明

微分中值定理的證明題歷來是考研的重難點，其考試特點是綜合性強，涉及到知識面廣，涉及到中值的等式主要是三類定理：

1.零點定理和介質定理;

2.微分中值定理;

包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來處理高階導數的相關問題，考查頻率底，所以以前兩個定理為主。

3.微分中值定理

積分中值定理的作用是為了去掉積分符號。

在考查的時候，一般會把三類定理兩兩結合起來進行考查，所以要總結到現在為止，所考查的題型。

▶方程根的問題

包括方程根唯一和方程根的個數的討論。

▶不等式的證明

▶定積分等式和不等式的證明

主要涉及的方法有微分學的方法：常數變異法;積分學的方法：換元法和分佈積分法。

▶積分與路徑無關的五個等價條件

這一部分是數一的考試重點，最近幾年沒設計到，所以要重點關注。

☆方法篇☆

以上是容易出證明題的地方，同學們在複習的時候重點歸納這類題目的解法。那麼，遇到這類的證明題，我們應該用什麼方法解題呢?

▶結合幾何意義記住基本原理

重要的定理主要包括零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。

知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的存在性並求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。

因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那麼第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕鬆解決，因為對於該題中的數列來説，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題並不是很多，更多的是要用到第二步。

▶藉助幾何意義尋求證明思路

一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關於中值定理的證明題，可以在直角座標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯繫結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。

再如2005年數學一第18題(1)是關於零點存在定理的證明題，只要在直角座標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關係恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

▶逆推法

從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。

在判定函數的單調性時需藉助導數符號與單調性之間的關係，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多(這裏所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。

對於那些經常使用如上方法的考生來説，利用三步走就能輕鬆收穫數學證明的12分，但對於從心理上就不自信能解決證明題的考生來説，卻常常輕易丟失12分，後一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數的白白流失。