六年級奧數之趣味數學題

在下面的算式裏，共有十個空白方框。把0、1、2、…、9這十個不同數字全部填進去，使每個數字各自佔據一個方框(“各據一方”)，並且得到三個正確等式，應該怎樣填?

□+□=□，

□+□=□，

□×□=□□。

容易驗證，下面的填法完全滿足要求：

1+7=8，

3+6=9，

4×5=20。

怎麼知道能這樣填?有沒有其他不同填法呢?

由於十個方框裏的數字各不相同，0又不能做二位數的首位數字，所以0只能填在第三個等式裏的最後一個方框，作為二位數的`末位數字。

由此推出，第三式的左邊一定有一個方框裏填5，另一個填寫偶數非零數字，可能是2、4、6、8中的某一個，並且所填的這個偶數數字的一半，恰好等於等號右邊乘積的十位數字。

0和5已經有了確定的位置，剩下的數字是1、2、3、4、6、7、8、9。要把這八個數字分成三組，前兩組各有三個數字，並且其中最大的等於另兩個的和;最後一組包含兩個數字，其中一個等於另一個的兩倍。不考慮順序，唯一可能的分組方法是：

(1，7，8)，(3，6，9)，(2，4)。

這樣就得到上面寫出的填法。

兩個加法算式可以互相交換位置，加號和乘號前後的兩個數可以交換位置，這些簡單變形可以不加區別。在這種意義上，本題只有唯一的答案。

從上面這道題，可以變化出一道新題。

減法是加法的逆運算。從一個加法算式

3+6=9，

可以得到兩個減法算式

9-3=6，9-6=3。

所以，知道怎樣解答上面這道題目，也就會解答從它變形得到的下面的問題：

把0、1、2、…、9這十個不同數字全部填進下面的空格，使每個數字各佔一格，並且得到三個正確等式，應該怎樣填?

□+□=□，

□-□=□，

□×□=□□。

變形以後的題目，有加、有減、有乘，變化更多，答案也從1個變成4個了。