六年級的奧數問題

整除問題：(高等難度)

一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求適合此條件的最小數。

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奇偶性應用：(中等難度)

桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉”.請説明：無論經過多少次這樣的“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下。

奇偶性應用答案：

要使一隻杯子口朝下，必須經過奇數次"翻轉".要使9只杯子口全朝下，必須經過9個奇數之和次"翻轉".即"翻轉"的總次數為奇數.但是，按規定每次翻轉6只杯子，無論經過多少次"翻轉"，翻轉的`總次數只能是偶數次.因此無論經過多少次"翻轉"，都不能使9只杯子全部口朝下。

整除問題答案：

這是一道古算題.它早在《孫子算經》中記有："今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?"

關於這道題的解法，在明朝就流傳着一首解題之歌："三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知."意思是，用除以3的餘數乘以70，用除以5的餘數乘以21，用除以7的餘數乘以15，再把三個乘積相加.如果這三個數的和大於105，那麼就減去105，直至小於105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下：

方法1：2×70+3×21+2×15=233

233-105×2=23

符合條件的最小自然數是23。

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奇偶性應用：(高等難度)

在圓周上有1987個珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍，或一次紅、一次藍.最後統計有1987次染紅，1987次染藍.求證至少有一珠子被染上過紅、藍兩種顏色。