六年級奧數推理問題習題
甲、乙兩所學校的學生中,有些學生互相認識.已知甲校的學生中任何一個人也認不全乙校的學生,乙校的任意兩名學生都有甲校中的一個公共朋友.問:能否在甲校中找出兩個學生A、B,從乙校中找出三個學生C、D、E,使得A認識C、D,不認識E,B認識D、E,不認識C?説明理由.(認識是相互的,即甲認識乙時,乙也認識甲).
分析:如果選乙校學生中任意兩個人為C、D,那麼甲校中有認識C、D的人,設它為A.因為A認不全乙校學生,所以在乙校中有學生E,A不認識E.這時A認識C、D,不認識E.按這個思路,再考慮選B時有些麻煩.雖然對於乙校的D、E,可知甲校中有學生認識D、E,如果把甲校的這個認識D、E的人選為B.這個B可能認識C,這樣就達不到題目要求了.之所以陷入上述困境,原因在於C、D在乙校中太"任意"了,在乙校中任選C、D,就可能使得最後甲校中的B選不出來,看來要選特殊一點的人.
因為甲校學生都認不全乙校的學生,所以存在甲校的認識乙校學生數目最多的人(或認識乙校學生數目最多的人之一).選他為A.因為A認不全乙校學生,取A不認識的乙校的一名學生為E,設A認識的乙校的一名學生為D.
對於D、E,在甲校中有一個人,設它為B,B認識D、E.因為B認識E,A不認識E,所以A、B不是同一個人.
在A認識的乙校學生中,一定有B不認識的人,若不然,當A認識的乙校的'任何一名學生都認識B時,B至少要比A多認識一個人E,這與"甲校學生中認識乙校人數最多的人之一是A"的假定矛盾.設在乙校中,學生C認識A而不認識B,這樣就有:
A認識C、D,不認識E,B認識D、E,不認識C.
學而思老師提示:為論證的需要,選擇特殊元素(如最多、最少、最早、最晚、…等),是行之有效的辦法,這個特殊元素的性質作為論證的一個重要已知條件.
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