六年級奧數:最優化問題
【編者按】最優化問題不僅具有趣味性,而且由於解題方法靈活,技巧性強,因此對於開拓解題思路,增強數學能力很有益處。
[專題介紹]最優化概念反映了人類實踐活動中十分普遍的現象,即要在儘可能節省人力、物力和時間前提下,爭取獲得在可能範圍內的最佳效果,因此,最優化問題成為現代數學的一個重要課題,涉及統籌、線性規劃一排序不等式等內容。
最優化問題不僅具有趣味性,而且由於解題方法靈活,技巧性強,因此對於開拓解題思路,增強數學能力很有益處。但解決這類問題需要的基礎知識相當廣泛,很難做到一一列舉。因此,主要是以例題的方式讓大家體會解決這些問題的方法和經驗。
[經典例題]
例1:貨輪上卸下若干只箱子,總重量為10噸,每隻箱子的重量不超過1噸,為了保證能把這些箱子一次運走,問至少需要多少輛載重3噸的汽車?
[分析]因為每一隻箱子的重量不超過1噸,所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少於2噸,否則可以再放一隻箱子。所以,5輛汽車本是足夠的,但是4輛汽車並不一定能把箱子全部運走。例如,設有13只箱子,,所以每輛汽車只能運走3只箱子,13只箱子用4輛汽車一次運不走。
因此,為了保證能一次把箱子全部運走,至少需要5輛汽車。
例2:用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根,至少要用去原材料幾根?怎樣截法最合算?
[分析]一個10尺長的竹竿應有三種截法:
(1)3尺兩根和4尺一根,最省;
(2)3尺三根,餘一尺;
(3)4尺兩根,餘2尺。
為了省材料,儘量使用方法(1),這樣50根原材料,可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的'竹竿,還差50根4尺的,最好選擇方法(3),這樣所需原材料最少,只需25根即可,這樣,至少需用去原材料75根。
例3:一個鋭角三角形的三條邊的長度分別是兩位數,而且是三個連續偶數,它們個位數字的和是7的倍數,這個三角形的周長最長應是多少釐米?
[分析]因為三角形三邊是三個連續偶數,所以它們的個位數字只能是0,2,4,6,8,並且它們的和也是偶數,又因為它們的個位數字的和是7的倍數,所以只能是14,三角形三條邊最大可能是86,88,90,那麼周長最長為86+88+90=264釐米。
例4:把25拆成若干個正整數的和,使它們的積最大。
[分析]先從較小數形開始實驗,發現其規律:
把6拆成3+3,其積為3×3=9最大;
把7拆成3+2+2,其積為3×2×2=12最大;
把8拆成3+3+2,其積為3×3×2=18最大;
把9拆成3+3+3,其積為3×3×3=27最大;……
這就是説,要想分拆後的數的乘積最大,應儘可能多的出現3,而當某一自然數可表示為若干個3與1的和時,要取出一個3與1重合在一起再分拆成兩個2之和,因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2,其積37×22=8748為最大。
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