國小奧數高難度棋盤問題解析

先説明一下，雖然陳述本題時使用棋盤及棋子加以説明，實際你只須用1張方格紙、1支筆，還有有關國際象棋走法的基本知識就可以開始着手走棋了。

車的走法

車只可向前、後、左、右移動，可經過棋盤上的每一格一次再回到出發點，而形成一循環迴路。圖1、圖2為符合此條件的兩條路徑。

請問當形成循環迴路時最少的方向改變數為多少次?

如果車經過棋盤上的每一格一次而不需再回到原出發點以形成一非循環迴路，此時最少的方向改變數為14。你能發現此一路徑嗎?

有沒有可能車從棋盤上的一個角落出發，經過棋盤上的每一格一次而在對角的角落上停下來呢?

王后的走法

王后的走法是既可對角移動，也可像車一樣前、後、左、右移動，所以她的變化較多。圖3顯示王后走法的一個例子。該路徑為一對稱形態，且在一角落上開始而終止於另一角落。圖4所顯示的路徑為一循環迴路，但不對稱。

想想看，王后有沒有可能形成對稱的循環迴路呢?

如果王后可經過棋盤上的每一格多次，則可能在棋盤上形成一條通過每一格的循環迴路，且只需13次改變方向。你能發現此一路徑嗎?

圖5顯示的王后路徑有一個很誘人的性質，也就是如果將王后走過的每一方格加以連續編號，圖中標示S的方格為1，則這些數字將組成一魔術方塊。有興趣的話可以試試看。

象的走法

象的走法是對角移動，如果他從圖中黑色方格出發的話，也只能移動到另一黑色方格，他沒有辦法在不重複進入一方格的條件下經過圖中所有黑色方格。為什麼呢?

圖6的路徑中遺漏了6個黑方格。你能找出更好的路徑嗎?

如果象可重複進入一方格的話，那就有可能從棋盤上的一個角落出發，終止於對角的方格上。該如何走呢?

解答與分析

走一條一循環迴路至少需改變15次方向，請參見圖1。走一非循環迴路至少需改變14次方向才可完成，參見圖2。

不可能使得車從棋盤上的一個角落出發，經過棋盤上的每一格一次而在對角的角落上停下。將一車從左上角移到右上角，必須向右及向上各移7格。所以總共移動了14格。任一路徑其向左移動的格數必定與向右移動的格數相平衡，而向上移動的格數也必定與向下移動的格數相平衡，因此要移到右上角的方格時，所走過的方格數必須為偶數，但是完成該項路徑時，只需移動63步。由此可知兩項推論相矛盾，所以不可能產生此條路徑。

如果車從棋盤上的左下角出發，然後經過棋盤上的每一格一次，那它可能在哪一個方塊上停下來呢?

車所能執行的任何路徑，王后也必定能達到，所以在此我們感興趣的是含有對角移動的路徑。對稱循環迴路較好的'例子為王后的魔術路徑，圖3為四重轉動對稱的循環迴路。

圖4為王后可經過棋盤上的每一格多次，且在棋盤上形成一條通過每一格的循環迴路，其中只有13次的方向改變。

象的走法

如果象從圖中黑色方塊出發的話，能走過所有黑色方塊的路徑，必定以黑色方塊為起點及終點。

假設此種路徑由圖5中標示1的方塊開始，隨後象走到方塊2，此後他只能在方塊3及4之中做一選擇。假設象走到方塊3，那麼整個路徑必定終止於方塊4，因為方塊4對外連接的路徑只有一條——經過方塊5，所以進入之後就無法再出來了。但是本題的要求是終止於對角的方塊上，因此由上面的推論可知不可能產生這樣一條的路徑。

如果象不可重複進入一方塊的話，那最多可走過29個黑色方塊。你再怎麼試總是有3個黑色方塊無法進入。圖6顯示其中的一組解。

在可重複進入一方塊的條件下，走過所有方塊的最有效路徑中。