奧數約數倍數問題高難度題及答案

例題1.若a,b,c是三個互不相等的大於0的自然數，且a+b+c=1155，則它們的最大公約數的最大值為()，最小公倍數的最小值為()，最小公倍數的`最大值為()

約數倍數答案：

解答：165、660、57065085

1)由於a+b+c=1155，而1155=3×5×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m為a，b，c的最大公約數，則p+q+s最小取7。此時m=165.

2)為了使最小公倍數儘量小，應使三個數的最大公約數m儘量大，並且使A，B，C的最小公倍數儘量小，所以應使m=165，A=1，B=2，C=4，此時三個數分別為165，330，660，它們的最小公倍數為660，所以最小公倍數的最小值為660。

3)為了使最小公倍數儘量小，應使三個數兩兩互質且乘積儘量大。當三個數的和一定時，為了使它們的乘積儘量大，應使它們儘量接近。由於相鄰的自然數是互質的，所以可以令1155=384+385+386，但是在這種情況下384和386有公約數2，而當1155=383+385+387時，三個數兩兩互質，它們的最小公倍數為383×385×387=57065085，即最小公倍數的最大值為57065085。