數學之圓知識點
圓雖然是最熟悉的幾何圖形之一,但它有很多新的知識點,尤其是這裏重要的知識點,都與前面的知識緊密聯繫着,下面是小編整理的國中數學之圓知識點,歡迎大家閲讀分享借鑑。
數學之圓知識點1
圓的周長公式C=2π r 中的π是定義;
圓的面積公式S=π*r*r,
圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比。用希臘字母 π (讀"Pài")表示。中國古代有圓率、周率、周等名稱。(在一般計算時π人們都把π這無限不循環小數化成3.14)
圓周率—π
什麼是圓周率?
圓周率是一個常數,是代表圓周和直徑的比例。它是一個無理數,即是一個無限不循環小數。但在日常生活中,通常都用3.14來代表圓周率去進行計算,即使是工程師或物理學家要進行較精密的計算,也只取值至小數點後約20位。
什麼是π?
π是第十六個希臘字母,本來它是和圓周率沒有關係的,但大數學家歐拉在一七三六年開始,在書信和論文中都用π來代表圓周率。既然他是大數學家,所以人們也有樣學樣地用π來表圓周率了。但π除了表示圓周率外,也可以用來表示其他事物,在統計學中也能看到它的出現。
(背圓周率的口訣】
3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6
山巔一寺一壺酒,爾樂苦煞吾,把酒吃,酒殺爾,殺不死,樂爾樂。
4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7
死珊珊,霸佔二妻。救我靈兒吧!不只要救妻,一路救三舅,救三妻。
5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7
我一拎我爸,二拎舅(其實就是撕我舅耳)三拎妻。
8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6
不要溜!司令溜,兒不溜!兒拎爸,久久不溜!
數學之圓知識點2
1、圓是由一條曲線圍成的平面圖形。(以前所學的圖形如長方形、梯形等都是由幾條線段圍成的平面圖形)
2、畫圓時,針尖固定的一點是圓心,通常用字母O表示;連接圓心和圓上任意一點的線段是半徑,通常用字母r表示;通過圓心並且兩端都在圓上的線段是直徑,通常用字母d表示。在同一個圓裏,有無數條半徑和直徑。在同一個圓裏,所有半徑的長度都相等,所有直徑的長度都相等。
3、用圓規畫圓的過程:先兩腳叉開,再固定針尖,最後旋轉成圓。畫圓時要注意:針尖必須固定在一點,不可移動;兩腳間的距離必須保持不變;要旋轉一週。
4、在同一個圓裏,半徑是直徑的一半,直徑是半徑的2倍。(d=2r, r=d2)
5、圓是軸對稱圖形,有無數條對稱軸,對稱軸就是直徑。
6、圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小。所以要比較兩圓的大小,就是比較兩個圓的直徑或半徑。
7、正方形裏最大的圓。兩者聯繫:邊長=直徑
畫法:(1)畫出正方形的兩條對角線;(2)以對角線交點為圓心,以邊長為直徑畫圓。
8、長方形裏最大的圓。兩者聯繫:寬=直徑
畫法:(1)畫出長方形的兩條對角線;(2)以對角線交點為圓心,以邊長為直徑畫圓。
9、同一個圓內的所有線段中,圓的直徑是最長的。
10、車輪滾動一週前進的路程就是車輪的周長。
每分前進米數(速度)=車輪的周長轉數
11、任何一個圓的周長除以它直徑的商都是一個固定的數,我們把它叫做圓周率。
用字母(讀pi)表示。是一個無限不循環小數。=3.141592653
我們在計算時,一般保留兩位小數,取它的近似值
12、如果用C表示圓的周長,那麼C=d或C = 2r
13、求圓的半徑或直徑的方法:d = C圓 r= C圓 2= C圓2
14、半圓的周長等於圓周長的一半加一條直徑。 C半圓= r+2r C半圓= d2+d
15、常用的3.14的倍數:
3.142=6.28 3.143=9.42 3.144=12.56 3.145=15.7 3.146=18.84
3.147=21.98 3.148=25.12 3.149=28.26 3.1412=37.68 3.1414=43.96
3.1416=50.24 3.1418=56.52 3.1424=75.36 3.1425=78.5
3.1436=113.04 3.1449=153.86 3.1464=200.96 3.1481=254.34
16、圓的面積公式:S圓=r2。圓的面積是半徑平方的倍。
17、圓的面積推導:圓可以切拼成近似的長方形,長方形的面積與圓的面積相等(即S長方形=S圓);長方形的寬是圓的半徑(即b=r);長方形的長是圓周長的一半(即a=2(C)=r)。即:S長方形= a b
S圓 = r r= r2
S圓 = r2
注意:切拼後的長方形的周長比圓的周長多了兩條半徑。C長方形=2r+2r=C圓+d
18、半圓的面積是圓面積的一半。S半圓=r22
19、大小兩個圓比較,半徑的倍數=直徑的倍數=周長的倍數,
面積的倍數=半徑的倍數2
20、周長相等的平面圖形中,圓的面積最大;面積相等的平面圖形中,圓的周長最短。
21、求圓環的面積一般是用外圓的面積減去內圓的面積,還可以利用乘法分配律進行簡便計算。S圓環=r2=(R2-r2)
22、常用的平方數:112=121 122=144 132=169 142=196 152=225
162=256 172=289 182=324 192=361 202=400
數學之圓知識點3
1、 圓的有關概念:
(1)、確定一個圓的要素是圓心和半徑。
(2)
①連結圓上任意兩點的線段叫做弦。
②經過圓心的弦叫做直徑。
③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧。
④小於半圓周的圓弧叫做劣弧。
⑤大於半圓周的圓弧叫做優弧。
⑥在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。
⑦頂點在圓上,並且兩邊和圓相交的角叫圓周角。
⑧經過三角形三個頂點可以畫一個圓,並且只能畫一個,經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心,這個三角形叫做這個圓的內接三角形,外心是三角形各邊中垂線的交點;直角三角形外接圓半徑等於斜邊的一半。
⑨與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心,這個三角形叫做圓外切三角形,三角形的內心就是三角形三條內角平分線的交點。
2、 圓的有關性質
(1)定理在同圓或等圓中,如果圓心角相等,那麼它所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等。推論在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那麼它們所對的其餘各組量都分別相等。
(2)垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧。
推論1:
①平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧。
②弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧。
③平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條弧。
推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
(3)圓周角定理:一條弧所對的圓周角等於該弧所對的圓心角的一半。推論1在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,相等的圓周角所對的弧也相等。推論2半圓或直徑所對的圓周角都相等,都等於90 。90 的圓周角所對的弦是圓的直徑。推論3如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形。
(4)切線的判定與性質:判定定理:經過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線。性質定理:圓的切線垂直於經過切點的半徑;經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點;經過切點切垂直於切線的直線必經過圓心。
(5)定理:不在同一條直線上的三個點確定一個圓。
(6)圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長;切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角。
(7)圓內接四邊形對角互補,一個外角等於內對角;圓外切四邊形對邊和相等;
(8)弦切角定理:弦切角等於它所它所夾弧對的圓周角。
(9)和圓有關的比例線段:相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等。如果弦與直徑垂直相交,那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。
(10)兩圓相切,連心線過切點;兩圓相交,連心線垂直平分公共弦。
數學之圓知識點4
一、圓
1、圓的有關性質
在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一週,另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫圓,固定的端點O叫圓心,線段OA叫半徑。
由圓的意義可知:
圓上各點到定點(圓心O)的距離等於定長的點都在圓上。
就是説:圓是到定點的距離等於定長的點的集合,圓的內部可以看作是到圓。心的距離小於半徑的點的集合。
圓的外部可以看作是到圓心的距離大於半徑的點的集合。連結圓上任意兩點的線段叫做弦,經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點間的部分叫圓弧,簡稱弧。
圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧都叫半圓,大於半圓的弧叫優弧;小於半圓的弧叫劣弧。由弦及其所對的弧組成的圓形叫弓形。
圓心相同,半徑不相等的兩個圓叫同心圓。
能夠重合的兩個圓叫等圓。
同圓或等圓的半徑相等。
在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫等弧。
二、過三點的圓
l、過三點的圓
過三點的圓的作法:利用中垂線找圓心
定理不在同一直線上的'三個點確定一個圓。
經過三角形各頂點的圓叫三角形的外接圓,外接圓的圓心叫外心,這個三角形叫圓的內接三角形。
2、反證法
反證法的三個步驟:
①假設命題的結論不成立;
②從這個假設出發,經過推理論證,得出矛盾;
③由矛盾得出假設不正確,從而肯定命題的結論正確。
例如:求證三角形中最多隻有一個角是鈍角。
證明:設有兩個以上是鈍角
則兩個鈍角之和>180°
與三角形內角和等於180°矛盾。
∴不可能有二個以上是鈍角。
即最多隻能有一個是鈍角。
三、垂直於弦的直徑
圓是軸對稱圖形,經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。
垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧。
推理1:平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對兩條弧。
弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧。
平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一個條弧。
推理2:圓兩條平行弦所夾的弧相等。
四、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係
圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。
實際上,圓繞圓心旋轉任意一個角度,都能夠與原來的圖形重合。
頂點是圓心的角叫圓心角,從圓心到弦的距離叫弦心距。
定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距相等。
推理:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中,有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
五、圓周角
頂點在圓上,並且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。
推理1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等。
推理2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。
推理3:如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形。
由於以上的定理、推理,所添加輔助線往往是添加能構成直徑上的圓周角的輔助線。
數學之圓知識點5
數學圓的知識點
1.平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心,定長稱為半徑。
2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧。大於半圓的弧稱為優弧,小於半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑。
3.頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。
4.過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓,其圓心稱為內心。
5.直線與圓有3種位置關係:無公共點為相離;有2個公共點為相交;圓與直線有公共點為相切,這條直線叫做圓的切線,這個的公共點叫做切點。
6.兩圓之間有5種位置關係:無公共點的,一圓在另一圓之外叫外離,在之內叫內含;有公共點的,一圓在另一圓之外叫外切,在之內叫內切;有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
7.在圓上,由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。
圓--⊙半徑—r弧--⌒直徑—d
扇形弧長/圓錐母線—l周長—C面積—S三、有關圓的基本性質與定理(27個)
1.點P與圓O的位置關係(設P是一點,則PO是點到圓心的距離):
P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O內,PO
2.圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形,其對稱中心是圓心。
3.垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的弧。逆定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的弧。
4.在同圓或等圓中,如果2個圓心角,2個圓周角,2條弧,2條弦中有一組量相等,那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。
5.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。
6.直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。
7.不在同一直線上的3個點確定一個圓。
8.一個三角形有確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點,到三角形3個頂點距離相等;內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點,到三角形3邊距離相等。
9.直線AB與圓O的位置關係(設OP⊥AB於P,則PO是AB到圓心的距
離):
AB與⊙O相離,PO>r;AB與⊙O相切,PO=r;AB與⊙O相交,PO
10.圓的切線垂直於過切點的直徑;經過直徑的一端,並且垂直於這條直徑的直線,是這個圓的切線。
11.圓與圓的位置關係(設兩圓的半徑分別為R和r,且R≥r,圓心距為P):
外離P>R+r;外切P=R+r;相交R-r
1.圓的周長C=2πr=πd
2.圓的面積S=s=πr?
3.扇形弧長l=nπr/180
4.扇形面積S=nπr?/360=rl/2
5.圓錐側面積S=πrl
數學學習方法
1.先看筆記後做作業。
有的同學感到,老師講過的,自己已經聽得明明白白了。但是為什麼你這麼做有那麼多困難呢?原因是學生對教師所説的理解沒有達到教師要求的水平。
因此,每天做作業之前,我們必須先看一下課本的相關內容和當天的課堂筆記。能否如此堅持,常常是好學生與差學生的最大區別。尤其是當練習不匹配時,老師通常沒有剛剛講過的練習類型,因此它們不能被比較和消化。如果你不重視這個實施,在很長一段時間內,會造成很大的損失。
2.做題之後加強反思。
學生一定要明確,現在正做着的題,一定不是考試的題目。但使用現在做主題的解決問題的思路和方法。因此,我們應該反思我們所做的每一個問題,並總結我們自己的收穫。
要總結出:這是一道什麼內容的題,用的是什麼方法。做到知識成片,問題成串。日復一日,建立科學的網絡系統的內容和方法。俗話説: 有錢難買回頭看 。做完作業,回頭細看,價值極大。這一回顧,是學習過程中一個非常重要的環節。
我們應該看看我們做得對不對;還有什麼解決辦法;問題在知識體系中的地位是什麼;解決辦法的實質是什麼;問題中的知識是否可以與我們所要求的交換,以及我們是否可以作出適當的補充或刪除。有了以上五個回頭看,解題能力才能與日俱增。投入的時間雖少,效果卻很大。可稱為事半功倍。
有人認為,要想學好數學,只要多做題,功到自然成。數學要不要刷題?一般説做的題太少,很多熟能生巧的問題就會無從談起。因此,應該適當地多刷題。但是,只顧鑽入題海,堆積題目,在考試中一般也是難有作為的。要把提高當成自己的目標,要把自己的活動合理地系統地組織起來,要總結反思,進行章節總結是非常重要的。
數學學習技巧
養成良好的課前和課後學習習慣:在當前高中數學學習中,培養正確的學習習慣是一項重要的學習技能。雖然有一種刻板印象的猜疑,但在高中數學學習真的是反覆嘗試和錯誤的。學生們不得不預習課本。我準備的數學教科書不是簡單的閲讀,而是一個例子,至少十分鐘的思考。在使用前不能通過學習知識解決問題的情況下,可以在教學內容中找到答案,然後在教材會考察問題的解決過程,掌握解決問題的思路。同時,在課堂上安排筆記也是必要的。在高中數學研究中,建議採用兩種形式的筆記,一種是課堂速記,另一種是課後筆記。這不僅提高了課堂記憶的吸收能力,而且有助於對筆記內容的查詢。
數學之圓知識點6
圓的一般方程
圓的標準方程是一個關於x和y的二次方程,將它展開並按x、y的降冪排列,得:
x+y—2ax—2by+a+b—R=0
設D=—2a,E=—2b,F=a+b—R;則方程變成:
x+y+Dx+Ey+F=0
任意一個圓的方程都可寫成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比較,可以看出它有這樣的特點:
(1)x2項和y2項的係數相等且不為0(在這裏為1);
(2)沒有xy的乘積項。
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0
圓的端點式:
若已知兩點A(a1,b1),B(a2,b2),則以線段AB為直徑的圓的方程為(x—a1)(x—a2)+(y—b1)(y—b2)=0
圓的離心率e=0,在圓上任意一點的曲率半徑都是r。
經過圓x+y=r上一點M(a0,b0)的切線方程為a0·x+b0·y=r
在圓(x+y=r)外一點M(a0,b0)引該圓的兩條切線,且兩切點為A,B,則A,B兩點所在直線的方程也為a0·x+b0·y=r。
圓的性質有哪些
1、圓是定點的距離等於定長的點的集合
2、圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
3、圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
4、同圓或等圓的半徑相等。
圓是一種幾何圖形,指的是平面中到一個定點距離為定值的所有點的集合。這個給定的點稱為圓的圓心。作為定值的距離稱為圓的半徑。當一條線段繞着它的一個端點在平面內旋轉一週時,它的另一個端點的軌跡就是一個圓。圓的直徑有無數條;圓的對稱軸有無數條。圓的直徑是半徑的2倍,圓的半徑是直徑的一半。
用圓規畫圓時,針尖所在的點叫做圓心,一般用字母O表示。連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑,一般用字母r表示,半徑的長度就是圓規兩個角之間的距離。通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑,一般用字母d表示。
數學指數與指數冪的運算
1、根式的概念:一般地,如果,那麼叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈x。
當是奇數時,正數的次方根是一個正數,負數的次方根是一個負數。此時,的次方根用符號表示。式子叫做根式(radical),這裏叫做根指數(radicalexponent),叫做被開方數(radicand)。
當是偶數時,正數的次方根有兩個,這兩個數互為相反數。此時,正數的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號—表示。正的次方根與負的次方根可以合併成±(>0)。由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。
注意:當是奇數時,當是偶數時,
2、分數指數冪
正數的分數指數冪的意義,規定:
0的正分數指數冪等於0,0的負分數指數冪沒有意義
指出:規定了分數指數冪的意義後,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪。
數學的學習方法
1、養成良好的學習數學習慣。建立良好的學習數學習慣,會使自己學習感到有序而輕鬆。高中數學的良好習慣應是:多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中,要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言,並永久記憶在自己的腦海中。良好的學習數學習慣包括課前自學、專心上課、及時複習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。
2、及時瞭解、掌握常用的數學思想和方法,學好高中數學,需要我們從數學思想與方法高度來掌握它。中學數學學習要重點掌握的的數學思想有以上幾個:集合與對應思想,分類討論思想,數形結合思想,運動思想,轉化思想,變換思想。
3、逐步形成“以我為主”的學習模式數學不是靠老師教會的,而是在老師的引導下,靠自己主動的思維活動去獲取的。學習數學就要積極主動地參與學習過程,養成實事求是的科學態度,獨立思考、勇於探索的創新精神。
4、記數學筆記,特別是對概念理解的不同側面和數學規律,教師在課堂中拓展的課外知識。記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題,以及你還存在的未解決的問題,以便今後將其補上。
數學之圓知識點7
1、圓的定義
平面內到一定點的距離等於定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑。
2、圓的方程
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(1)標準方程,圓心(a,b),半徑為r;
(2)求圓方程的方法:
一般都採用待定係數法:先設後求。確定一個圓需要三個獨立條件,若利用圓的標準方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圓的幾何性質:如弦的中垂線必經過原點,以此來確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關係
直線與圓的位置關係有相離,相切,相交三種情況:
(1)設直線,圓,圓心到l的距離為,則有;;
(2)過圓外一點的切線:
①k不存在,驗證是否成立
②k存在,設點斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】
(3)過圓上一點的切線方程:圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
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