奧數數論問題解析約數與倍數

已知x、y為正整數，且滿足xy—（x+y）=2p+q，其中p、q分別是x與y的最大公約數和最小公倍數，求所有這樣的數對（x，y）（x≥y）

考點：約數與倍數。

分析：此題需分類討論，①當x是y的倍數時，設x=ky（k是正整數）。解方程k（y—2）=3;②當x不是y的倍數時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp。解方程abp—1=（a—1）（b—1）即可。解答：解：①當x是y的倍數時，設x=ky（k是正整數）。

則由原方程，得

kyy—（ky+y）=2y+ky，

∵y≠0，

∴ky—（k+1）=2+k，

∴k（y—2）=3，

當k=1時，x=5，y=5;

當k=3時，x=9，y=3;

②當x不是y的倍數時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp，代入原式

得：abp2—（ap+bp）=2p+abp，即abp—1=（a—1）（b+1）

當p=1時，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時不滿足條件;

當p>1時，abp≥2ab—1=ab+（ab—1）≥ab>（a—1）（b—1）

此時，abp—1=（a—1）（b+1）不滿足條件;

綜上所述，滿足條件的數對有

　　點評：

本題主要考查的是最大公約數與最小公倍數。由於兩個數的乘積等於這兩個數的最大公約數與最小公倍數的`積。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求兩個數的最小公倍數，就可以先求出它們的最大公約數，然後用上述公式求出它們的最小公倍數。