數的整除問題奧數題及答案

數的整除問題奧數題及答案1

試問，能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上，使得在任何5個相連的數中，都至少有兩個數可被3整除?如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法;如果回答：“不能”，則需給出説明.

考點：數的整除特徵.

分析：根據題意，可採用假設的方法進行分析，100個自然數任意的5個數相連，可以分成20個組，使得在任何5個相連的數中，都至少有兩個數可被3整除，那麼會有40個數是3的倍數，事實上在1至100的自然數中只有33個是3倍數，所以不能.

解答：假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數，

按所排列順序將它們每5個分為一組，可得20組，

其中每兩組都沒有共同的數，於是，在每一組的5個數中都至少有兩個數是3的倍數.

國小五年級數的整除問題奧數題及答案：從而一共會有不少於40個數是3的倍數.但事實上在1至100的這100個自然數中只有33個數是3的倍數，

導致矛盾，所以不能.

答：不能.

數的整除問題奧數題及答案2

數的整除性規律

【能被2或5整除的數的特徵】一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除

【能被3或9整除的數的特徵】一個數，當且僅當它的各個數位上的數字之和能被3和9整除時，這個數便能被3或9整除。

例如，1248621各位上的數字之和是1+2+4+8+6+2+1=24

3|24，則3|1248621。

又如，372681各位上的數字之和是3+7+2+6+8+1=27

9|27，則9|372681。

【能被4或25整除的.數的特徵】一個數，當且僅當它的末兩位數能被4或25整除時，這個數便能被4或25整除。

例如，

173824的末兩位數為24，4|24，則4|173824。

43586775的末兩位數為75，25|75，則25|43586775。

【能被8或125整除的數的特徵】一個數，當且僅當它的末三位數字為0，或者末三位數能被8或125整除時，這個數便能被8或125整除。

例如，

32178000的末三位數字為0，則這個數能被8整除，也能夠被125整除。

3569824的末三位數為824，8|824，則8|3569824。

214813750的末三位數為750，125|750，則125|214813750。

【能被7、11、13整除的數的特徵】一個數，當且僅當它的末三位數字所表示的數，與末三位以前的數字所表示的數的差(大減小的差)能被7、11、13整除時，這個數就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位數為523，末三位以前的數字所表示的數是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，則7|75523。

又如，1095874的末三位數為874，末三位以前的數字所表示的數是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，則13|1095874。

再如，868967的末三位數為967，末三位以前的數字所表示的數是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，則11|868967。

此外，能被11整除的數的特徵，還可以這樣敍述：一個數，當且僅當它的奇數位上數字之和，與偶數位上數字之和的差(大減小)能被11整除時，則這個數便能被11整除。

例如，4239235的奇數位上的數字之和為4+3+2+5=14，偶數位上數字之和為2+9+3=14，二者之差為14-14=0，0÷11=0，即11|0，則11|4239235。

數的整除問題奧數題及答案3

從左向右編號為1至1991號的1991名同學排成一行，從左向右1至11報數，報數為11的同學原地不動，其餘同學出列；然後留下的同學再從左向右1至11報數，報數為11的留下，其餘同學出列；留下的同學第三次從左向右1至11報數，報到11的同學留下，其餘同學出列，那麼最後留下的同學中，從左邊數第一個人的最初編號是（）號。

考點：整除問題．

分析：第一次報數留下的同學，最初編號都是11的倍數；這些留下的繼續報數，那麼再留下的學生最初編號就是11×11=121的倍數，依次類推即可得出最後留下的學生的最初編號．

解：第一次報數後留下的同學最初編號都是11倍數；

第二次報數後留下的同學最初編號都是121的倍數；

第三次報數後留下的同學最初編號都是1331的倍數；

所以最後留下的只有一位同學，他的最初編號是1331；

答：從左邊數第一個人的最初編號是1331號．

點評：根據他們的報數11，得出每次留下的學生的最初編號都是11的倍數，是解決這個問題的關鍵．