國小五年級奧數數論問題分析
求21000除以13的餘數.
考點:同餘問題.
分析:這類型的題目都是採用一般方法來做,就是用前面幾個數字來找規律,尋找第幾個數被13除後的餘數是1,得出對應的次方就是餘數變化的週期,從而求出因此2的1000次方除以13的餘數是與2的4次方除以13的餘數相同,進而得出大答案.
解答:解:因為一個數字m如果能被13除餘1的話,它就可以寫成 m=13n+1這種形式.
那麼根據題意它再乘以2之後就是26m+2,
這個數被13除後的餘數顯然是2,又會跟第一個數的餘數相同了.
所以這個數對應的次方就是餘數變化的一個週期.
首先從2開始,2除以13的餘數是2;2的2次方是4,餘數是4;按照這個方法一直找下去,
發現第12個數也就是2的12次方被13除後餘1,所以12是餘數變化的`週期.
接下來把1000除以12後得到餘數是4,因此2的1000次方除以13的餘數是與2的4次方除以13的餘數相同.
∵2的4次方也就是16,除以13餘數為3.
故21000除以13的餘數為3.點評:此題主要考查了同餘問題的性質,得出2的1000次方除以13的餘數是與2的4次方除以13的餘數相同是解決問題的關鍵.
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