奧數數論的整數拆分問題習題

奧數數論的整數拆分問題習題1

1、把60分拆成10個素數之和，要求其中最大的素數儘可能小，那麼這個最大素數是幾?

2、一個自然數，可以分拆成3個連續自然數之和，也可以分拆成4個連續自然數之和，還可以分拆成7個連續自然數之和。這個自然數最小是幾?

3、自然數20xx能否拆成若干個連續自然數之和?如果能，有幾種不同的拆法?

4、百貨店要將鐵釘包成10包，每包數量互不相等。如果顧客來買不超過1000枚的任意個數的鐵釘，都要能從這10包中適當選取而不用拆包，能否做到?若能，請給出一種包裝方法：若不能，説明理由。

5、有一把長度為9釐米卻沒有刻度的尺子，能否在上面畫3條刻度線，使得這把尺子可以直接測量出1---9釐米的所有整釐米長度?若能，共有幾種不同的畫法?

奧數數論的整數拆分問題習題2

把70表示成11個不同的自然數之和，同時要求含有質數的個數最多。

分析：先考慮把70表示成11個不同的自然數之和。因1+2+3+……+11=66，現在要將4分配到適當的加數上，使其和等於70，又要使這11個加數互不相等。先將4分別加在後四個加數上，得到四種分拆方法：

70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15

=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11

=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11

再將4拆成1+3，把1和3放在適當的位置上，僅有一種新方法：

70==1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12

再將4拆成1+1+2或1+1+1+1或2+2，分別加在不同的'位置上，都得不出新的分拆方法，故這樣的分拆方法一共有五種。

顯然，這五種分拆方法中含有質數的個數最多的是：

1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11

點金術：巧用舉例和篩選法得出結論。