奇數與偶數國小奧數數論問題
1、下列每個算式中,最少有一個奇數,一個偶數,那麼這12個整數中,至少有幾個偶數?
□+□=□ □-□=□ □×□=□ □÷□=□
2、任意取出1234個連續自然數,它們的總和是奇數還是偶數?
3、一串數排成一行,它們的規律是:前兩個數都是1,從第三個數開始,每一個數都是前兩個數的和。如:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
試問:這串數的前100個數(包括第100個數)中,有多少個偶數?
4、能不能將1010寫成10個連續自然數之和?如果能,把它寫出來;如果不能,説明理由。
5、能否將1至25這25個自然數分成若干組,使得每一組中的最大數都等於組內其餘各數的和?
6、在象棋比賽中,勝者得1分,敗者扣1分,若為平局,則雙方各得0分。今有若干個學生進行比賽,每兩人都賽一局。現知,其中有一位學生共得7 分,另一位學生共得20分,試説明,在比賽過程中至少有過一次平局。
7、在黑板上寫上1,2,…,909,只要黑板上還有兩個或兩個以上的數就擦去其中的任意兩個數a,b,並寫上a-b(其中a≥b)。問:最後黑板上剩下的是奇數還是偶數?
8、設a1,a2,…,a64是自然數1,2,…,64的任一排列,令b1=a1-a2,b2=a3-a4,…,b32=a63-a64;c1=b1-b2,c2=b3-b4,…,c16=b31-b32;d1=c1-c2,d2=c3-c4,…,d8=c15-c16;……
這樣一直做下去,最後得到的'一個整數是奇數還是偶數?
1、至少有6個偶數。
2、奇數。解:1234÷2=617,所以在任取的1234個連續自然數中,奇數的個數是奇數,奇數個奇數之和是奇數,所以它們的總和是奇數。
3、33。提示:這串數排列的規律是以“奇奇偶”循環。
4、不能。
如果1010能表示成10個連續自然數之和,那麼中間2個數的和應當是1010÷5=202。但中間2個數是連續自然數,它們的和應是奇數,不能等於偶數202。所以,1010不能寫成10個連續自然數之和。
5、不能。提示:仿例3。
6、證:設得7分的學生勝了x1局,敗了y1局,得 20分的學生勝了x2局,敗了y2局。由得分情況知:
x1-y1=7,x2-y2=20。
如果比賽過程中無平局出現,那麼由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2,即x1+y1+x2+y2是偶數。另一方面,由x1- y1=7知x1+y2為奇數,由x2-y2=20知x2+y2為偶數,推知x1+y1+x2+y2為奇數。這便出現矛盾,所以比賽過程中至少有一次平局。
7、奇數。解:黑板上所有數的和S=1+2+…+909是一個奇數,每操作一次,總和S減少了a+b-(a-b)=2b,這是一個偶數,説明總和S的奇偶性不變。由於開始時S是奇數,因此終止時S仍是一個奇數。
8、偶數。
解:我們知道,對於整數a與b,a+b與a-b的奇偶性相同,由此可知,上述計算的第二步中,32個數。
a1-a2,a3-a4,…,a63-a64,
分別與下列32個數。
a1+a2,a3+a4,…,a63+a64,
有相同的奇偶性,這就是説,在只考慮奇偶性時,可以用“和”代替“差”,這樣可以把原來的計算過程改為
第一步:a1,a2,a3,a4,…,a61,a62,a63,a64;
第一步:a1+a2,a3+a4,…,a61+a62,a63+a64;
第三步:a1+a2+a3+a4,…,a61+a62+a63+a64;
……
最後一步所得到的數是a1+a2+…+a63+a64。由於a1,a2,…,a64是1,2,…,64的一個排列,因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數,故最後一個整數是偶數。
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