小升中奧數 基本行程問題

（一） 直接利用行程問題基本關係解決的行程問題：

【例1】 龜、兔進行1000米的賽跑.小兔斜眼瞅瞅烏龜，心想：“我小兔每分鐘能跑100米，而你烏龜每分鐘只能跑10米，哪是我的對手.”比賽開始後，當小兔跑到全程的一半時，發現把烏龜甩得老遠，便毫不介意地躺在旁邊睡着了.當烏龜跑到距終點還有40米時，小兔醒了，拔腿就跑.

請同學們解答兩個問題：

（1）它們誰勝利了？為什麼？

（2）勝者到終點時，另一個距終點還有幾米？

分析：

（1）烏龜勝利了．因為兔子醒來時，烏龜離終點只有40米，烏龜需要40÷10=4（分鐘）就能到達終點，而兔子離終點還有500米，需要500÷100=5（分鐘）才能到達，所以烏龜勝利了.

（2）烏龜跑到終點還要（40÷10）=4（分鐘），而小兔跑到終點還要1000÷2÷100=5（分鐘），慢1分鐘．

當勝利者烏龜跑到終點時，小兔離終點還有：100×1=100（米）．

【例2】 解放軍某部開往邊境，原計劃需要行軍18天，實際平均每天比原計劃多行12千米，結果提前3天到達，這次共行軍多少千米？

分析：“提前3天到達”可知實際需要18-3=15天的時間，而“實際平均每天比原計劃多行12千米”，則15天內總共比原來15天多行的路程為：12×15=180千米，這180千米正好填補了原來3天的行程，因此原來每天行程為180÷3=60千米，問題就能很容易求解.原來的速度為：（18-3）×12÷3=60（千米/天），因此總行程為：60×18=1080（千米）

（二）平均速度

【例3】 摩托車駕駛員以每小時30千米的速度行駛了90千米到達某地，返回時每小時行駛45千米，求摩托車駕駛員往返全程的平均速度.

分析：

要求往返全程的平均速度是多少，必須知道摩托車“往”與“返”的總路程和“往”與“返”的`總時間.摩托車“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托車的總路程是：90×2=180（千米），摩托車“往”的速度是每小時30千米，所用時間是：90÷30=3（小時），摩托車“返”的速度是每小時45千米，所用時間是：90÷45=2（小時），往返共用時間是：3+2=5（小時），由此可求出往返的平均速度，列式為：90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米/小時）

【例4】 胡老師騎自行車過一座橋，上橋速度為每小時12千米，下橋速度為每小時24千米，而且上橋與下橋所經過的路程相等，中間也沒有停頓，問這個人騎車過這座橋的平均速度是多少？

分析： 題目中沒有告訴我們總的路程，給計算帶來不便，仔細想一想，只要上下橋路程相等，總路程是不影響平均速度的，我們自己設一個路程好了， 不妨設為48千米，來回兩段路，所以每段路程為：48÷2=24（千米），總時間是：24÷12+24÷24=3（小時），所以平均速度是：48÷3=16（千米/小時）

【例5】 甲、乙兩地相距6720米，某人從甲地步行去乙地，前一半時間平均每分鐘行80米，後一半時間平均每分鐘行60米.問他走後一半路程用了多少分鐘？[!--]

分析：（方法1） 由於前一半時間與後一半時間的平均速度是已知的，因此可以計算出這人步行的時間．而如果瞭解清楚各段的路程、時間與速度，題目結果也就自然地被計算出來了．

應指出，如果前一半時間平均速度為每分鐘80米，後一半時間平均速度為每分鐘60米，則這個人從甲走到乙的平均速度就為每分鐘走(80+60)÷2=70米．這是因為一分鐘80米，一分鐘60米，兩分分鐘一共140米，平均每分鐘70米．而每分鐘走80米的時間與每分鐘走60米的時間相同，所以平均速度始終是每分鐘70米．

這樣，就可以計算出這個人走完全程所需要的時間是6720÷70=96分鐘．由於前一半時間的速度大於後一半時間的速度，所以前一半的時間所走路程大於6720÷2=3360米．則前一個3360米用了3360÷80=42分鐘；後一半路程所需時間為96-42=54分鐘．

（方法2）設走一半路程時間是x分鐘，則80x+60x=6720，解方程得：x=48分鐘，因為80×48=3840（米），大於一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，時間是3360÷80=42（分鐘），後一半路程時間是48+（48-42）=54（分鐘）.

【例6】 有一座橋，過橋需要先上坡，再走一段平路，最後下坡，並且上坡、平路及下坡的路程相等.某人騎電動車過橋時，上坡、走平路和下坡的速度分別為11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他過橋的平均速度.

分析：假設上坡、平路及下坡的路程均為66米，（引導學生思考設為66的原因），那麼總時間=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），過橋的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）.