奧數題及答案:流水行船問題

例3 甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時，逆流航行比順流航行多花了5小時.現在有一機帆船，靜水中速度是每小時12千米，這機帆船往返兩港要多少小時?

分析 要求帆船往返兩港的時間，就要先求出水速.由題意可以知道，輪船逆流航行與順流航行的時間和與時間差分別是35小時與5小時，用和差問題解法可以求出逆流航行和順流航行的時間.並能進一步求出輪船的逆流速度和順流速度.在此基礎上再用和差問題解法求出水速。

解：

輪船逆流航行的時間：(35+5)÷2=20(小時)，

順流航行的時間：(35—5)÷2=15(小時)，

輪船逆流速度：360÷20=18(千米/小時)，

順流速度：360÷15=24(千米/小時)，

水速：(24—18)÷2=3(千米/小時)，

帆船的順流速度：12+3=15(千米/小時)，

帆船的逆水速度：12—3=9(千米/小時)，

帆船往返兩港所用時間：

360÷15+360÷9=24+40=64(小時)。

答：機帆船往返兩港要64小時。

下面繼續研究兩隻船在河流中相遇問題.當甲、乙兩船(甲在上游、乙在下游)在江河裏相向開出，它們單位時間靠攏的路程等於甲、乙兩船速度和.這是因為：

甲船順水速度+乙船逆水速度=(甲船速+水速)+(乙船速-水速)=甲船船速+乙船船速。

這就是説，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣，與水速沒有關係。

同樣道理，如果兩隻船，同向運動，一隻船追上另一隻船所用的時間，也只與路程差和船速有關，與水速無關.這是因為：

甲船順水速度-乙船順水速度

=(甲船速+水速)-(乙船速+水速)

=甲船速-乙船速。

如果兩船逆向追趕時，也有

甲船逆水速度-乙船逆水速度

=(甲船速-水速)-(乙船速-水速)

=甲船速-乙船速。

這説明水中追及問題與在靜水中追及問題及兩車在陸地上追及問題一樣。

由上述討論可知，解流水行船問題，更多地是把它轉化為已學過的相遇和追及問題來解答。

例4 小剛和小強租一條小船，向上遊劃去，不慎把水壺掉進江中，當他們發現並調過船頭時，水壺與船已經相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那麼他們追上水壺需要多少時間?

分析 此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在順水中的.速度是船速+水速.水壺飄流的速度只等於水速，所以速度差=船順水速度-水壺飄流的速度=(船速+水速)-水速=船速.

解：路程差÷船速=追及時間

2÷4=0.5(小時)。

答：他們二人追回水壺需用0.5小時。

例5 甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千米和每小時32千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時出發相向而行，幾小時相遇?如果同向而行，甲船在前，乙船在後，幾小時後乙船追上甲船?

解：①相遇時用的時間

336÷(24+32)

=336÷56

=6(小時)。

②追及用的時間(不論兩船同向逆流而上還是順流而下)：

336÷(32—24)=42(小時)。

答：兩船6小時相遇;乙船追上甲船需要42小時。