高二數學《綜合法和分析法》教學設計

學生探究過程：

證明的方法

（1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最後達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最後達到待證結論或需求問題。對於解答證明來説，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

（2）、例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a +b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，

即需證(a-b)2 ＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此 命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由 題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例2、若實數 ，求證：

證明：採用差值比較法：

例3、已知 求證

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。

證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關於 對稱，不妨設，從而原不等式得證。

2）商值比較法：設故原不等式得證。

注：比較法是證明不等 式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。

討論：若題設中去掉 這一限制條件，要求證的結論如何變換？

2.2二項分佈及其應用教案三（新人教A版選修2-3）

2．2．2事的相互獨立性

目標：

知識與技能：理解兩個事相互獨立的概念。

過程與方法：能進行一些與事 獨立有關的概率的計算。

情感、態度與價值觀：通過對實例的分析，會進行簡單的應用。

重點：獨立事 同時發生的概率

教學難點：有關獨立事發生的概率計算

授類型：新授

時安排：2時

教 具：多媒體、實物投影儀

教學過程：

一、複習引入：

1 事的定義：隨機事：在一定條下可能發生也可能不發生的事；

必然事：在一定條下必然發生的事；

不可能事：在 一定條下不可能發生的事

2．隨機事的概率：一般地，在大量重複進行同一試驗時，事 發生的頻率 總是接近某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事 的概率，記作 ．

3.概率的確定方法：通過進行大量的重複試驗，用這個事發生的頻率近似地作為它的概率；

4．概率的性質：必然事的概率為 ，不可能事的概率為 ，隨機事的概率為 ，必然事和不可能事看作隨機事的兩個極端情形

5 基本事：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果（事 ）稱為一個基本事

6．等可能性事：如果一次試驗中可能出現的結果有 個，而且所有結果出現的可能性都相等，那麼每個基本事的概率都是 ，這種 事叫等可能性事

7．等可能性事的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有 個，而且所有結果都是等可能的，如果事 包含 個結果，那麼事 的概率

8．等可能性事的概率公式及一般求解方法

9.事的和的意義:對於事A和事B是可以進行加法運算的

10 互斥事:不可能同時發生的兩個事．

一般地：如果事 中的任何兩個都是互斥的，那麼就説事 彼此互斥

11．對立事:必然有一個發生的互斥事．

12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥，那麼

探究:

(1)甲、乙兩人各擲一枚硬幣，都是正面朝上的概率是多少？

事 ：甲擲一枚硬幣，正面朝上；事 ：乙擲一枚硬幣，正面朝上

(2)甲罈子裏有3個白球，2個黑球，乙罈子裏有2個白球，2個黑球，從這兩個罈子裏分別摸出1個球，它們都是白球的概率是多少？

事 ：從甲罈子裏摸出1個球，得到白球；事 ：從乙罈子裏摸出1個球，得到白球

問題(1)、(2)中事 、 是否互斥？（不互斥）可以同時發生嗎？（可以）

問題(1)、(2)中事 （或 ）是否發生對事 （或 ）發生的概率有無影響？（無影響）

思考:三張獎券中只有一張能中獎,現分別由三名同學有放回地抽取,事A為“第一名同學沒有抽到中獎獎券”, 事B為“最後一名同學抽到中獎獎券”. 事A的發生會影響事B 發生的概率嗎?

顯然，有放回地抽取獎券時，最後一名同學也是從原的三張獎券中任抽一張，因此第一名同學抽的結果對最後一名同學的抽獎結果沒有影響，即事A的發生不會影響事B 發生的概率．於是

P（B A）=P(B）,

P（AB）=P( A ) P ( B A）=P（A）P(B).

二、講解新：

1．相互獨立事的定義：

設A, B為兩個事，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 則稱事A與事B相互獨立（mutually independent ) .

事 （或 ）是否發生對事 （或 ）發生的概率沒有影響，這樣的兩個事叫做相互獨立事

若 與 是相互獨立事，則 與 ， 與 ， 與 也相互獨立

2．相互獨立事同時發生的概率：

問題2中，“從這兩個罈子裏分別摸出1個球，它們都是白球”是一個事，它的發生，就是事 ， 同時發生，記作 ．（簡稱積事）

從甲罈子裏摸出1個球，有5種等可能的.結果；從乙罈子裏摸出1個球，有4種等可能的結果 於是從這兩個罈子裏分別摸出1個球，共有 種等可能的結果 同時 摸出白球的結果有 種 所以從這兩個罈子裏分別摸出1個球，它們都是白球的概率 ．

另一方面，從甲罈子裏摸出1個球，得到白球的概率 ，從乙罈子裏摸出1個球，得到白球的概率。

這就是説，兩個相互獨立事同時發生的概率，等於每個事發生的概率的積 一般地，如果事 相互獨立，那麼這 個事同時發生的概率，等於每個事發生的概率的積，即

3．對於事A與B及它們的和事與積事有下面的關係：

三、講解範例：

例 1.某商場推出二次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券．獎券上有一個兑獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兑獎活動．如果兩次兑獎活動的中獎概率都是 0 . 05 ，求兩次抽獎中以下事的概率：

(1)都抽到某一指定號碼；

(2)恰有一次抽到某一指定號碼；

(3)至少有一次抽到某一指定號碼。

解： (1)記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事A, “第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事B ，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事AB．由於兩次抽獎結果互不影響，因此A與B相互獨立．於是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率：

P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.

(2 ) “兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用（A ）U（ B）表示．由於事A 與 B互斥，根據概率加法公式和相互獨立事的定義，所求的概率為：

P (A ）十P（ B）=P（A）P（ ）+ P（ ）P（B )

= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.

( 3 ) “兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用（AB ) U ( A ）U（ B）表示．由於事 AB , A 和 B 兩兩互斥，根據概率加法公式和相互獨立事的定義，所求的概率為 P ( AB ) + P（A ）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5。

例2.甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊 次，甲射中的概率為 ，乙射中的概 率為 ，求：

（1） 人都射中目標的概率；

（2） 人中恰有 人射中目標的概率；

（3） 人至少有 人射中目標的概率；

（4） 人至多有 人射中目標的概率？

解：記“甲射擊 次，擊中目標”為事 ，“乙射擊 次，擊中目標”為事 ，則 與 ， 與 ， 與 ， 與 為相互獨立事，

（1） 人都射中的概率為：

∴ 人都射中目標的概率是 ．

（2）“ 人各射擊 次，恰有 人射中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事 發生），另一種是甲未擊中、乙擊中（事 發生） 根據題意，事 與 互斥，根據互斥事的概率加法公式和相互獨立事的概率乘法公式，所求的概率為：

∴ 人中恰有 人射中目標的概率是 ．

（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為 ．

（法2）：“2人至少有一個擊中”與“2人都未擊中”為對立事，

2個都未擊中目標的概率是 ，

∴“兩人至少有1人擊中目標”的概率為 ．

（4）（法1）：“至多有1人擊中目標”包括“有1人擊中”和“2人都未擊中”，

故所求概率為：

（法2）：“至多有1人擊中目標”的對立事是“2人都擊中目標”，

故所求概率為

例 3.在一段線路中並聯着3個自動控制的常開開關，只要其中有1個開關能夠閉合，線路就能正常工作 假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率

解：分別記這段時間內開關 ， ， 能夠閉合為事 ， ， ．

由題意，這段時間內3個開關是否能夠閉合相互之間沒有影響 根據相互獨立事的概率乘法公式，這段時間內3個開關都不能閉合的概率是

∴這段時間內至少有1個開關能夠閉合，，從而使線路能正常工作的概率是

答：在這段時間內線路正常工作的概率是 ．

變式題1：如圖添加第四個開關 與其它三個開關串聯，在某段時間內此開關能夠閉合的概率也是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率

變式題2：如圖兩個開關串聯再與第三個開關並聯，在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率

方法一：

方法二：分析要使這段時間內線路正常工作只要排除 開且 與 至少有1個開的情況

例 4.已知某種高炮在它控制的區域內擊中敵機的概率為0.2．

（1）假定有5門這種高炮控制某個區域，求敵機進入這個區域後未被擊中的概率；

（2）要使敵機一旦進入這個區域後有0.9以上的概率被擊中，需至少佈置幾門高炮？

分析:因為敵機被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機，故敵機被擊中的概率即為至少有1門高炮擊中敵機的概率

解:（1）設敵機被第k門高炮擊中的事為 (k=1,2,3,4,5)，那麼5門高炮都未擊中敵機的事為

∵事 ， ， ， ， 相互獨立，

∴敵機未被擊中的概率為

∴敵機未被擊中的概率為 ．

（2）至少需要佈置 門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿（1）可得：

敵機被擊中的概率為1-

∴令 ，∴

兩邊取常用對數，得

∴至少需要佈置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機

點評：上面例1和例2的解法，都是解應用題的逆向思考方法 採用這種方法在解決帶有詞語“至多”、“至少”的問題時的運用，常常能使問題的解答變得簡便

四、堂練習：

1．在一段時間內，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那麼在這段時間內至少有1人去此地的概率是( )

2．從甲口袋內摸出1個白球的概率是 ，從乙口袋內摸出1個白球的概率 是 ，從兩個口袋內各摸出1個球，那麼 等於（ ）

2個球都是白球的概率 2個球都不是白球的概率

2個球不都是白球的概率 2個球中恰好有1個是白球的概率

3．電燈泡使用時間在1000小時以上概率為0.2，則3個燈泡在使用1000小時後壞了1個的概率是（ ）

0.128 0.096 0.104 0.384

4．某道路的 、 、 三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45 秒，某輛車在這條路上行駛時，三處都不停車的概率是 （ ）

5．（1）將一個硬幣連擲5次，5次都出現正面的概率是 ；

（2）甲、乙兩個氣象台同時作天氣預報，如果它們預報準確的概率分別是0.8與0.7，那麼在一次預報中兩個氣象台都預報準確的概率是 ．

6．棉籽的發芽率為0.9，發育為壯苗的概率為0.6，

（1）每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為 ；此穴無壯苗的概率為 ．

（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率為 ；此穴有壯苗的概率為 ．

7．一個工人負責看管4台機牀，如果在1小時內這些機牀不需要人去照顧的概率第1台是0.79，第2台是0 .79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台機牀是否需要照顧相互之間沒有影響，計算在這個小時內這4台機牀都不需要人去照顧的概率.

8．製造一種零，甲機牀的廢品率是0.04，乙機牀的廢品率是0.05．從它們製造的產品中各任抽1，其中恰有 1廢品的概率是多少？

9 ．甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一個球，問取得的球是同色的概率是多少？

答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2)

6.(1) , (2) ,

7. P=

8. P=

9. 提示：

五、小結 ：兩個事相互獨立，是指它們其中一個事的發生與否對另一個事發生的概率沒有影響 一般地，兩個事不可能即互斥又相互獨立，因為互斥事是不可能同時發生的，而相互獨立事是以它們能夠同時發生為前提的 相互獨立事同時發生的概率等於每個事發生的概率的積,這一點與互斥事的概率和也是不同的

六、後作業：本58頁練習1、2、3 第60頁 習題 2. 2A組4. B組1

七、板書設計（略）

八、教學反思：

1. 理解兩個事相互獨立的概念。

2. 能進行一些與事獨立有關的概率的計算。

3. 通過對實例的分析，會進行簡單的應用。